Đáp án + Giải thích các bước giải:

`-` Câu 8:

`-` a)

- Chọn mốc thế năng tại mặt đất (vị trí thấp nhất của hình cầu).

- Áp dụng bảo toàn cơ năng có:

$W_{t.A}+W_{đ.A}=W_{t.C}+W_{đ.C}$

$\Leftrightarrow mgR=mgR.cos\left(\beta \right)+\frac{1}{2}mv^2\left(1\right)$

- Tại C, lực hướng tâm: $F_{ht}=mgcos\left(\beta \right)-N$ (N là phản lực của mặt cầu lên vật)

Mà vật rời khỏi hình cầu `=>` `N=0`

- Áp dụng định luật II Newton: $F_{ht}=m.a_{ht}$

$\Leftrightarrow mg.cos\left(\beta \right)=\frac{mv^2}{R}$

$\Rightarrow v^2=gRcos\left(\beta \right)\left(2\right)$

Từ (1), (2) có: $mgR=mgRcos\left(\beta \right)+\frac{1}{2}mgRcos\left(\beta \right)$

$\Leftrightarrow 1=cos\left(\beta \right)+\frac{1}{2}cos\left(\beta \right)$

$\Rightarrow cos\left(\beta \right)=\frac{2}{3}$

- Độ cao từ mặt đất đến vị trí vật rời khỏi hình cầu là:

$h=R+Rcos\left(\beta \right)=R+\frac{2}{3}R=\frac{5}{3}R=\frac{5}{3}.20\approx 33,33\left(cm\right)$

`-` b)

- Tại B, lực hướng tâm: $F_{ht}=mg.cos\left(\alpha \right)-N$

$\Leftrightarrow mgcos\left(\alpha \right)-N=\frac{mv_B^2}{R}$ `(3)`

- Áp dụng bảo toàn cơ năng:

$W_{t.A}+W_{đ.A}=W_{t.B}+W_{đ.B}$

$\Leftrightarrow mgR=mgRcos\left(\alpha \right)+\frac{1}{2}mv_B^2$

$\Leftrightarrow v_B^2=2gR\left(1-cos\alpha \right)\left(4\right)$

- Từ (3), (4) có: $mg.cos\left(\alpha \right)-N=\frac{m}{R}.2gR\left(1-cos\alpha \right)$

$\Leftrightarrow mgcos\left(\alpha \right)-N=2mg\left(1-cos\alpha \right)$

$\Rightarrow N=mg\left(3cos\alpha -2\right)=0,1.9,8.\left(3cos\left(30\right)-2\right)\approx 0,586\left(N\right)$

Câu 9:

- Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất.

- Trước va chạm, động lượng của hệ: $\overrightarrow{p_1}=m\overrightarrow{v}$

- Sau va chạm, viên bi có khối lượng $\frac{m}{2}$ chuyển động theo phương hợp với phương ban đầu góc $-\alpha =-30^o$.

- Động lượng của hệ là: 

$\overrightarrow{p_2}=m\overrightarrow{v_1}+\frac{m}{2}\overrightarrow{v_2}$

- Áp dụng bảo toàn động lượng:

$\overrightarrow{p_1}=\overrightarrow{p_2}$

$\Leftrightarrow m\overrightarrow{v}=m\overrightarrow{v_1}+\frac{m}{2}\overrightarrow{v_2}$

- Chiếu lên phương ngang (Ox):

$mv=mv_1cos\alpha +\frac{m}{2}v_2cos\left(-\alpha \right)$

$\Leftrightarrow v=v_1cos\alpha +\frac{1}{2}v_2cos\alpha $

$\Leftrightarrow v=cos\alpha \left(v_1+\frac{1}{2}v_2\right)\left(1\right)$

- Chiếu lên phương thẳng (Oy):

$0=mv_1sin\alpha +\frac{m}{2}v_2sin\left(-\alpha \right)$

$\Leftrightarrow 0=v_1sin\alpha -\frac{1}{2}v_2sin\alpha $

$\Leftrightarrow v_1=\frac{1}{2}v_2\left(2\right)$

- Áp dụng bảo toàn động năng:

$W_{đ.1}=W_{đ.2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}.\frac{m}{2}.v_2^2$

$\Leftrightarrow v^2=v_1^2+\frac{1}{2}v_2^2\left(3\right)$

- Thay (2) vào (1) được:

$v=cos\alpha \left(\frac{1}{2}v_2+\frac{1}{2}v_2\right)$

$\Rightarrow v_2=\frac{v}{cos\alpha }$

$\Rightarrow v_2=\frac{v}{cos\alpha }=\frac{10\sqrt{3}}{cos\left(30\right)}=20\left(m/s\right)$

- Từ (2): $v_1=\frac{1}{2}v_2=\frac{1}{2}.20=10\left(m/s\right)$

Câu 10:

- $\alpha $ là góc dây treo hợp với phương thẳng đứng.

- Hợp lực theo phương thẳng: $T.cos\alpha -mg=0\Rightarrow T.cos\alpha =mg$

$\Rightarrow T=\frac{mg}{cos\alpha }=\frac{mg}{\frac{\sqrt{l^2-R^2}}{l}}=\frac{mgl}{\sqrt{l^2-R^2}}$

- Hợp lực theo phương ngang: $T.sin\alpha =m.a_{ht}=m\omega ^2R$

$\Leftrightarrow \frac{mgl}{\sqrt{l^2-R^2}}.\frac{R}{l}=m\omega ^2R$

$\Leftrightarrow \frac{mgR}{\sqrt{l^2-R^2}}=m\omega ^2R$

$\Leftrightarrow \frac{g}{\sqrt{l^2-R^2}}=\omega ^2$

$\Leftrightarrow R=\sqrt{l^2-\frac{g^2}{\omega ^4}}$

$=\sqrt{1^2-\frac{10^2}{\left(3,76\right)^2}}=\sqrt{5,02}\approx 0,708\left(m\right)$