Bước 1

Vì tam giác ABC cân tại A, AD là đường trung tuyến nên AD cũng là đường cao và phân giác. Do đó, $AD \perp BC$ và $BD = CD$.

Bước 2

G là trọng tâm của tam giác ABC, nên $AG = 2GD$. Theo đề bài, $DE = DG$. Suy ra $AE = AD + DE = AD + DG = AD + \frac{1}{2}AG$.

Bước 3

Theo đề bài, $CG = \frac{1}{2}AE$. Thay $AE$ bằng $AD + DG$, ta có $CG = \frac{1}{2}(AD + DG)$.

Bước 4

Xét tam giác vuông ADC, ta có $AC^2 = AD^2 + CD^2$.

Xét tam giác vuông BDG, ta có $BG^2 = BD^2 + DG^2$.

Xét tam giác vuông CDG, ta có $CG^2 = CD^2 + DG^2$.

Bước 5

Vì $CG = \frac{1}{2}AE$, ta có $4CG^2 = AE^2$.

Thay $AE = AD + DG$, ta có $4CG^2 = (AD + DG)^2$.

Thay $CG^2 = CD^2 + DG^2$, ta có $4(CD^2 + DG^2) = (AD + DG)^2$.

Bước 6

Ta có $CG = \frac{1}{2}AE$. Mà $AE = AD + DE = AD + DG$.

Do đó, $CG = \frac{1}{2}(AD + DG)$.

Mặt khác, $AG = 2GD$, nên $AD = AG + GD = 3GD$.

Vậy $CG = \frac{1}{2}(3GD + DG) = 2GD$.

Suy ra $CG = AG$.

Bước 7

Vì $CG = AG$, tam giác AGC cân tại G.

Trong tam giác vuông CDG, ta có $CG^2 = CD^2 + DG^2$.

Vì $CG = AG = 2GD$, nên $(2GD)^2 = CD^2 + DG^2$.

Suy ra $4DG^2 = CD^2 + DG^2$, hay $3DG^2 = CD^2$.

Do đó, $CD = DG\sqrt{3}$.

Bước 8

Trong tam giác vuông ADC, ta có $AD = 3GD$ và $CD = DG\sqrt{3}$.

Suy ra $AC^2 = AD^2 + CD^2 = (3GD)^2 + (DG\sqrt{3})^2 = 9GD^2 + 3DG^2 = 12DG^2$.

Vậy $AC = 2DG\sqrt{3}$.

Ta có $AB = AC$ (tam giác ABC cân tại A).

Mà $AD = 3GD$ và $CD = DG\sqrt{3}$.

Do đó, $AD = \frac{3}{2}AG$ và $CD = \frac{\sqrt{3}}{2}AG$.

Bước 9

Xét tam giác vuông ADC, ta có $AC^2 = AD^2 + CD^2$.

Thay $AD = \frac{3}{2}AG$ và $CD = \frac{\sqrt{3}}{2}AG$, ta có $AC^2 = (\frac{3}{2}AG)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}AG)^2 = \frac{9}{4}AG^2 + \frac{3}{4}AG^2 = 3AG^2$.

Vậy $AC = AG\sqrt{3}$.

Vì $CG = AG$, nên $AC = CG\sqrt{3}$.

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.

Đáp án

Tam giác ABC là tam giác đều.

Vì $CG = \frac{1}{2}AE$, và các tính chất của trọng tâm, đường trung tuyến, ta suy ra được $AC = BC = AB$.