Ta có : M là trung điểm AC 

⇒ AM = CM

a) Xét ΔABM và ΔCDM , ta có

AM = CM

MB = MD

Góc AMB = góc CMD ( đối đỉnh )

⇒ ΔABM = ΔCDM ( cạnh - góc - cạnh )

b) Vì ΔABM = ΔCDM ( cmt )

nên góc ABM = góc CDM ( hai góc tương ứng )

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ AB // CD

c) Gọi I là giao điểm AN và BD

Ta có : AB // CD

⇒ góc ABI = góc CDI ( so le trong )

Xét ΔABI và ΔCDI , ta có

Góc ABI = góc CDI ( cmt )

AB = CD ( vì ΔABM = ΔCDM )

Góc BAI = góc DCI ( so le trong )

⇒ ΔABI = ΔCDI ( góc - cạnh - góc )

⇒ BI = DI ( hai cạnh tương ứng )

→ I là trung điểm BD

Xét ΔBCD , ta có

N là trung điểm của BC (gt)

I là trung điểm của BD (cmt)

⇒ NI là đường trung bình của ΔBCD

⇒ NI // CD

Vì NI // CD và NI cắt AN tại E , nên E nằm trên đường thẳng CD

Xét ΔAEN , ta có

C là giao điểm của 2 đường trung tuyến AN và BD

⇒ C là trọng tâm của ΔAEN

⇒ EC = 2CN

Vì N là trung điểm BC

⇒ CN = BN

suy ra , EC = 2BN

Vì BI = DI và BN = CN , nên BE = 2BN

Vậy , EC = BE 

⇒ C là trung điểm ED

d) Gọi K là giao điểm của EM và BF

Xét ΔEMC , ta có

O là trung điểm EM (gt)

F là trung điểm CM ( vì CF = CM )

⇒ OF là đường trung bình của ΔEMC

⇒ OF // EC

Vì EC // AB (cmt ) , nên OF // AB

Xét ΔBEM , ta có:

O là trung điểm của EM (gt)

K là giao điểm của BF và EM

⇒ K là trọng tâm của tam giác BEM

Do đó, BK = 2KO

Vì OF // AB , nên góc BKO = góc FKO

Xét ΔBKO và ΔFKO , ta có

Góc BKO = góc FKO ( cmt )

KO là cạnh chung

BK = 2KO

⇒ ΔBKO đồng dạng với ΔFKO

⇒ góc BOK = góc FOK

mà 2 góc đó là 2 góc kề bù

nên Góc BOK = góc FOK = 90$^{o}$ 

Vậy B,O,F thẳng hàng