a) Chứng minh tứ giác BHEK, BFEC là các tứ giác nội tiếp

Ta có $\angle BHE = 90^\circ$ (do $H$ là hình chiếu của $E$ trên $AB$) và $\angle BKE = 90^\circ$ (do $K$ là hình chiếu của $E$ trên $BC$)

Xét tứ giác $BHEK$, ta có $\angle BHE + \angle BKE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

$\Rightarrow$ Tứ giác $BHEK$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$)

Ta có $\angle BFC = 90^\circ$ (do $CF$ là đường cao) và $\angle BEC = 90^\circ$ (do $BE$ là đường cao).

Xét tứ giác $BFEC$, ta có $\angle BFC = \angle BEC = 90^\circ$.

$\Rightarrow$ Tứ giác $BFEC$ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai góc cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau)

b) Chứng minh $BH.BA = BK.BC$

Vì tứ giác $BHEK$ nội tiếp (cmt)

$\Rightarrow$ $\angle EHK = \angle EBK$.

Xét $\triangle BHE$ và $\triangle BKC$, ta có:

+) $\angle B$ là góc chung.

+) $\angle BEH = \angle BFK = 90^\circ$.

$\Rightarrow$ $\triangle BHE \sim \triangle BKC$ (g.g).

$\Rightarrow$ $\frac{BH}{BC} = \frac{BE}{BA} \Rightarrow BH.BA = BK.BC$.

Vậy, $BH.BA = BK.BC$ (đpcm)

c) Chứng minh $HK$ đi qua trung điểm của $EF$.

Vì tứ giác $BFEC$ nội tiếp, ta có $\angle AFE = \angle ACB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AE$)

Tứ giác $BHEK$ nội tiếp

$\Rightarrow$ $\angle EHK = \angle EBK$

Ta có: $\angle AFE = \angle ACB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

Ta có: $\angle AFE = \angle ACB$ (cmt) và $\angle AEF = \angle ABC$

$\Rightarrow$ $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

Vì $BFEC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow$ $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$.

Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.

Ta có $HK$ là dây cung của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BHEK$.

Gọi $N$ là trung điểm của $EF$.

Ta có $N$ là trung điểm của $EF$.

$\Rightarrow$ $HK$ đi qua trung điểm của $EF$ (đpcm)

$\color{#006600}{@}$$\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}$