Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{AEO}=\widehat{AFO}=90^o$

$\to AEOF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Ta có: $IE, IH$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OI$ là phân giác $\widehat{EOH}$

Tương tự: $OK$ là phân giác $\widehat{HOF}$

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A, O$ là trung điểm $BC$

$\to AO\perp BC$

$\to \widehat{IOK}=\widehat{IOH}+\widehat{HOK}$

$\to \widehat{IOK}=\dfrac12\widehat{HOE}+\dfrac12\widehat{HOF}$

$\to \widehat{IOK}=\dfrac12\widehat{EOF}$

$\to \widehat{IOK}=\widehat{EOA}$

$\to \widehat{IOK}=90^o-\widehat{EOB}$

$\to \widehat{IOK}=\hat B=\widehat{ABC}$

$\to \widehat{KOC}=180^o-\widehat{IOK}-\widehat{IOB}=180^o-\hat B-\widehat{IOB}=\widehat{OIB}$

Do $\hat B=\hat C$

$\to \Delta OIB\sim\Delta KOC(g.g)$

c.Ta có:

$OB=OC=\dfrac12BC=3$

$\to AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=4$

Vì $\Delta OIB\sim\Delta KOC$

$\to \dfrac{BI}{OC}=\dfrac{OB}{KC}$

$\to BI.KC=OB.OC=9$

Ta có:

$S_{AIK}=\dfrac12AI.AK\sin A$

Mà $AI+AK=(AB-BI)+(AC-CK)$

$\to AI+AK=AB+AC-(BI+CK)=10-(BI+CK)\le 10-2\sqrt{BI.KC}=10-2\sqrt{9}=4$

$\to AI.AK\le\dfrac14(AI+AK)^2=\dfrac14\cdot 4^2=4$

Kẻ $BD\perp AC$

$\to BD.AC=AO.BC(=2S_{ABC})$

$\to BD=\dfrac{AO.BC}{AC}=\dfrac{4\cdot 6}{5}=\dfrac{24}5$

$\to \sin A=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{24}{25}$

$\to S_{AIK}\le \dfrac12\cdot 4\cdot \dfrac{24}{25}=\dfrac{48}{25}$

Dấu = xảy ra khi $BI=CK\to AI=AK\to KI//BC$

$\to H=AO\cap (O)$