Áp dụng công thức Vi-et cho phương trình $x^2 - 2(m+4)x + m^2 - 8 = 0$, ta có:

$x_1 + x_2 = 2(m+4)$ (1)

$x_1x_2 = m^2 - 8$ (2)

Thay (1) vào biểu thức $T$, ta có:

$T = x_1^2 + 2(m+4)x_2 - 2m^2 + 16$

$T = x_1^2 + (x_1 + x_2)x_2 - 2m^2 + 16$

$T = x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 - 2m^2 + 16$

$T = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 - 2m^2 + 16$

Thay (2) từ công thức Vi-et vào biểu thức $T$:

$T = [2(m+4)]^2 - (m^2 - 8) - 2m^2 + 16$

$T = 4(m^2 + 8m + 16) - m^2 + 8 - 2m^2 + 16$

$T = 4m^2 + 32m + 64 - m^2 + 8 - 2m^2 + 16$

$T = m^2 + 32m + 88$

$T = m^2 + 32m + 256 - 256 + 88$

$T = (m + 16)^2 - 168$

Vì $(m+16)^2 \ge 0$ với mọi $m$ $\Rightarrow$ giá trị nhỏ nhất của $T$ là $-168$ khi $m = -16$.

$\Rightarrow$ $m + n = -16 + (-168) = -184$

@SuperSolver