Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHB,\Delta CHA$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\widehat{HAB}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{HCA}$

$\to \Delta HAB\sim\Delta HCA(g.g)$

b.Ta có: $AK$ là phân giác $\widehat{HAC}$

$\to \widehat{KAH}=\widehat{KAC}$

$\to \widehat{KAB}=\widehat{KAH}+\widehat{HAB}=\hat C+\widehat{KAC}=\widehat{AKB}$

$\to \Delta ABK$ cân tại $B$

Mà $BI$ là phân giác $\hat B$

$\to BI\perp AK$

Do $AI\perp BK$

$\to KI\perp AB$

$\to KI//AC(\perp AB)$

d.Ta có: $IK//AC, AK\cap CI=N, M$ là trung điểm $AC$

$\to H, N, M$ thẳng hàng (bổ đề hình thang)