Giải thích các bước giải:

a.Ta có: 

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Tương tự: $AEDC, AFDB$ nội tiếp

Ta có: $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Tương tự: $BEHD, CDHF$ nội tiếp 

b.Ta có:

$\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to \widehat{CEN}=\widehat{HEF}=\widehat{HAF}=\widehat{KAC}=\widehat{CIK}=\widehat{CIE}$

c.Ta có: $\widehat{CEN}=\widehat{EIC}$

$\to \Delta CEN\sim\Delta CIE(g.g)$
$\to \dfrac{CE}{CI}=\dfrac{CN}{CE}$

$\to CE^2=CN.CI$

Vì $OM\perp BC$

$\to M$ là trung điểm $BC$

Ta có: $BCFE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to M$ là tâm $(BCFE)$

Vì $P$ là tâm $(AEF), AEHF$ nội tiếp

$\to P$ là tâm $(AEHF)$

$\to PM$ là trung trực $EF$

Kẻ $EG\perp AC$

$\to \Delta CEA$ vuông tại $E, EG\perp AC$

$\to CE^2=CG.CA$

$\to CG.CA=CN.CI$

$\to \dfrac{CG}{CI}=\dfrac{CN}{CA}$

$\to \Delta CGN\sim\Delta CIA(c.g.c)$

$\to \widehat{CGN}=\widehat{AIC}$

$\to \widehat{NGF}=\widehat{AIC}=\widehat{ABC}=\widehat{EBC}=\widehat{GFE}=\widehat{GFN}$

$\to \Delta GFN$ cân tại $N$

$\to NG=NF$

Mà $\widehat{NGE}=90^o-\widehat{NGF}=90^o-\widehat{NFG}=\widehat{NEG}$

$\to \Delta NEG$ cân tại $N$

$\to NG=NE$

$\to NE=NF$

$\to N$ là trung điểm $EF$

$\to N\in$ trung trực $EF$

$\to N\in PM$

$\to P, M, N$ thẳng hàng