Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $BI$ là phân giác $\hat B, BI\perp AM$

$\to \Delta ABM$ cân tại $B$

$\to AB=BM$

Xét $\Delta ABI,\Delta MBI$ có:

Chung $IB$

$\widehat{ABI}=\widehat{IBM}$

$BA=BM$

$\to \Delta ABI=\Delta MBI(c.g.c)$

$\to AI=IM$

b. Từ a $\to \widehat{BMI}=\hat A=90^o\to IM\perp BC$

$\to IM$ là trung trực $BC$

$\to IB=IC$

$\to \Delta IBC$ cân tại $I$

$\to \widehat{C}=\widehat{IBC}=\dfrac12\hat B$

Mà $\hat B+\hat C=90^o$

$\to \hat B+\dfrac12\hat B=90^o$

$\to \dfrac32\hat B=90^o$

$\to \hat B=60^o$

$\to \hat C=30^o$

$\to \widehat{IBC}=\hat C=30^o$

$\to \widehat{BIC}=180^o-2\hat C=120^o$

c.Gọi độ dài ba cạnh tam giác là $n, n+1, n+2$ với $n\in N$

$\to  (n+2)^2=n^2+(n+1)^2$ vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to n^2+4n+4=2n^2+2n+1$

$\to n^2-2n-3=0$

$\to (n+1)(n-3)=0$

$\to n=3$ vì $n\in N$

$\to 3, 4, 5$ là độ dài ba cạnh tam giác 

$\to P_{ABC}=3+4+5=12$

d.Xét $\Delta AHB,\Delta AHK$ có:

Chung $AH$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHK}(=90^o)$

$HB=HK$

$\to \Delta AHB=\Delta AHK(c.g.c)$

$\to AK=AB$

$\to \Delta ABK$ cân tại $A$

$\to\widehat{AKB}=\widehat{ABK}=\widehat{KBC}$

$\to AK//BC$

Từ b $\to IB=IC$

$\to \widehat{IAK}=\widehat{ICB}=\widehat{IBC}=\widehat{IKA}$

$\to \Delta IAK$ cân tại $I$

$\to IA=IK$

Xét $\Delta IAB,\Delta ICK$ có:

$IA=IK$

$\widehat{AIB}=\widehat{KIC}$

$IB=IC$

$\to \Delta AIB=\Delta KIC(c.g.c)$