Câu `3:`

Gọi độ dài của ba cạnh của tam giác `ABC` lần lượt là : `a ; a + d ; a + 2d`

ĐK : `a  ; a + d ; a + 2d > 0`

Không mất tính tổng quát , giả sử : `d > 0 to` cạnh `a + 2d` là cạnh lớn nhất nên là cạnh đối diện với góc `120^o`

`S_{ABC} = 1/2 . a . (a + d) . sin 120^o = (5sqrt{3})/3`

`to a(a + d) = 20/3 (1)`

Áp dụng định lý hàm số cos:

`(a + 2d)^2 = a^2 + (a + d)^2 - 2a(a + d) . cos 120^o`

`(a + 2d)^2 = a^2 + (a + d)^2 + a(a + d)`

`to (a + 2d)^2 - a^2 - (a + d)^2 - a(a + d) = 0`

`to 2d(2a + 2d) - (a + d)(a + d + a) = 0`

`<=> (a + d)(4d - 2a - d) = 0`

Vì `a ; d > 0 to 3d = 2a (2)`

Từ `(1),(2) to a = 2cm ; d = 4/3 to a + d = 10/3cm ; a + 2d = 14/3cm`

`to P_{ABC} = 2 + 10/3 + 14/3 = 10 cm`