Giải thích các bước giải:

a.Vì $ABCD$ là hình thoi

$\to AB=BC=CD=DA$

$\to \Delta ABD,\delta CBD$ cân tại $A, C$

Mà $\hat C=\hat A=60^o$

$\to \Delta ABD,\Delta BCD$ đều

Do $BE\perp AD, BF\perp CD$

$\to E, F$ là trung điểm $AD, BC$

$\to AE=\dfrac12AD=\dfrac12CD=CF$

b.Xét $\Delta BEA, \Delta BFC$ có:

$\hat E=\hat F(=90^o)$

$BA=BC$

$\hat A=\hat C$

$\to \Delta BEA=\Delta BFC$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BE=BF, \widehat{FBC}=\widehat{EBA}=90^o-\hat A=30^o$

Ta có: $\widehat{ABC}=180^o-\hat A=120^o$

$\to \widehat{EBF}=\widehat{ABC}-\widehat{ABE}-\widehat{FBC}=60^o$

$\to \Delta BEF$ đều

c.Xét $\Delta BMA,\Delta BNC$ có:

$BA=BC$

$\widehat{BAM}=\dfrac12\hat A=\dfrac12\hat C=\widehat{BCN}$

$\widehat{MBA}=\widehat{EBA}=\widehat{FBC}=\widehat{NBC}$

$\to \Delta BMA=\Delta BNC(g.c.g)$

$\to BM=BN$

Vì $ABCD$ là hình thoi

$\to AC$ là trung trực $BD$

Mà $M,N\in AC$

$\to MB=MD, NB=ND$

$\to DM=MB=BN=ND$

$\to BMDN$ là hình thoi

d.Gọi $AC\cap BD=O$

Vì $ABCD$ là hình thoi $\to O$ là trung điểm $AC, BD$

$\to OA=OC=\dfrac12AC=8$

Ta có: $BA=BD, \hat A=90^o\to \Delta ABD$ đều

Mà $BE\perp AD, AO\perp DB$

$\to BE=AO=8$

$\to P_{BEF}=3BE=24$