Theo đề bài, ta có:

+) `f(x)` chia cho `x - 3` dư `7`, suy ra: `f(x) = g(x) . (x-3) + 7`

Nếu `x = 3` thì `f(3) = g(x) . (3 - 3) + 7 = 7` (*)

+) `f(x)` chia cho `x - 2` dư `5`, suy ra: `f(x) = g'(x) . (x-2) + 5`

Nếu `x = 2` thì `f(2) = g'(x) . (2-2) + 5 = 5` (**)

Vì `f(x)` chia cho `(x-3)(x-2)` được thương là `3x` và còn dư

Ta có: `(x-3)(x-2) = x(x-2) - 3(x-2) = x^2 - 2x - 3x + 6 = x^2 - 5x + 6` là đa thức bậc hai, suy ra: đa thức dư của biểu thức `f(x)` chia cho `(x-3)(x-2)` có bậc từ `1` trở xuống

Suy ra, ta được biểu thức: `f(x) = 3x  (x-2)(x-3) + ax + b` (****)

Xét:

`f(3) = 3 . 3 (x-2)(x-3) + a . 3 + b`

`= 9 . (3-2) . (3-3) + 3a + b`

`= 9 . 1 . 0 + 3a + b`

`= 3a + b`

Mà theo (*) có `f(3) = 7`

Suy ra: `3a + b = 7`

`f(2) = 3x (x-3)(x-2) + ax + b`

`= 3 . 2 (2 - 3)(2-2) + a . 2 + b`

`= 6 . (-1) . 0 + 2a + b`

`= 2a + b`

Mà theo (**) có `f(2) = 5`

Suy ra: `2a + b = 5`

Vì `3a + b = 7`

`(2a + b) + a = 7`

`5 + a = 7`

`a = 7 - 5 = 2`

Thay `a = 2` vào `3a + b = 7` được:

`3 . 2 + b = 7`

`6 + b = 7`

`b = 7 - 6 = 1`

Thay `(a;b) = (2;1)` vào (****) được:

`f(x) = 3x  (x-2)(x-3) + 2x + 1`

`= 3x (x^2 - 5x + 6) + 2x + 1`

`= 3x^3 - 15x^2 + 18x + 2x + 1`

`= 3x^3 - 15x^2 + 20x + 1`