Ta có:

`1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)≥2`

`⇒1/(1+x)≥1-1/(1+y)+1-1/(1+z)=y/(1+y)+z/(1+z)`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

`y/(1+y)+z/(1+z)≥2\sqrt{(yz)/[(1+y)(1+z)]}`

`⇒1/(1+x)≥2\sqrt{(yz)/[(1+y)(1+z)]}`

Chứng minh tương tự:

`1/(1+y)≥2\sqrt{(xz)/[(1+x)(1+z)]}`

`1/(1+z)≥2\sqrt{(xy)/[(1+z)(1+y)]}`

Nhân các bất đẳng thức dương cùng chiều ta được:

`1/[(1+x)(1+y)(1+z)]≥2\sqrt{(yz)/[(1+y)(1+z)]}·2\sqrt{(xz)/[(1+x)(1+z)]}·2\sqrt{(xy)/[(1+z)(1+y)]}=8\sqrt{(x^2y^2z^2)/[(1+x)(1+y)(1+z)]}`

`⇒1/[(1+x)(1+y)(1+z)]≥8|(xyz)/((1+x)(1+y)(1+z))|=(8xyz)/((1+x)(1+y)(1+z))`

`⇒((1+x)(1+y)(1+z))/((1+x)(1+y)(1+z))≥8xyz`

`⇒1≥8xyz`

`⇒xyz≤1/8`

`⇒A≤1/8`

Vậy giá trị lớn nhất của `A` là `1/8` khi `x=y=z=1/2`