Câu $1$ : Sai đề do $a=b=c=d=1$ thì $LHS=\dfrac{3}{2}<2$

Câu $2$ :

Không mất tính tổng quát, giả sử $c$ nằm giữa $a$ và $b$

$=>(a-c)(b-c)<=0$

$<=>ab+c^2 <=ca+bc$

$=>a^2 b+c^2 a<=a^2 c+abc$

$=>LHS<=b^2 c+a^2 c+abc=c(a^2 +b^2 +ab)<=c(a+b)^2$

$<=\dfrac{1}{2}. \dfrac{(2c+2a+2b)^3}{27}=\dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$

$=\dfrac{4}{27}$

Câu $3$ :

Theo nguyên lý Dirichlet, $x-1,y-1,z-1$ tồn tại $2$ số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $x-1$, khi đó :

$(x-1)(y-1)>=0<=>x+y+z<=xy+z+1$

Lại có : $x^2 +y^2 +z^2 +xyz=4<=>4-z^2 =x^2 +y^2 +xyz>=2xy+xyz=xy(z+2)$

$<=>(2-z)(z+2)>=xy(z+2)$

$<=>xy<=2-z$

$<=>xy+z<=2$ 

Hay $x+y+z<=3$