`g'(x)=(2x-2).f'(x^2-2x+m)`

Để hàm số đồng biến trên `(1;3)` thì:

       `g'(x)≥0,∀x∈(1;3)`

    `⇔(2x-2).f'(x^2-2x+m)≥0,∀x∈(1;3)`

Mà `2x-2>0,∀x∈(1;3)`

`⇒f'(x^2-2x+m)≥0,∀x∈(1;3)`

`⇔`$\left[\begin{matrix} -7≤x^2-2x+m≤0\\ x^2-2x+m≥2\end{matrix}\right.,\forall x\in(1;3)$

`⇔`$\left[\begin{matrix} -x^2+2x-7≤m≤-x^2+2x\\ m≥-x^2+2x+2\end{matrix}\right.,\forall x\in(1;3)$

`⇔`$\left[\begin{matrix} \begin{cases} m≤-x^2+2x\\m+7≥-x^2+2x \end{cases}\\ m-2≥-x^2+2x\end{matrix}\right.,\forall x\in(1;3)(*)$

Xét hàm số `h(x)=-x^2+2x` trên `(1;3)`

`=>h'(x)=-2x+2=0⇔x=1\notin(1;3)`

Ta có bảng biến thiên:(Ảnh)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:`(**)⇔`$\left[\begin{matrix} \begin{cases} m≤-3\\m+7≥1\end{cases}\\ m-2≥1\end{matrix}\right.$`⇔`$\left[\begin{matrix} \begin{cases} m≤-3\\m≥-6\end{cases}\\ m≥3\end{matrix}\right.$`⇔`$\left[\begin{matrix} -6≤m≤-3\\ m≥3\end{matrix}\right.$

Mà `m\in[-20;20]`

`=>`$\left[\begin{matrix} -6≤m≤-3\xrightarrow[]{m\in \mathbb{Z}}Có 4 giá trị m TM\\ 3≤m≤20\xrightarrow[]{m\in \mathbb{Z}}Có 18 giá trị m TM\end{matrix}\right.$

`=>` Có `22` số nguyên `m\in[-20;20]` để hàm số `g(x)=f(x^2-2x+m)` đồng biến trên `(1;3)`

`=>` Chọn `C.22`