Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) $A = \sqrt{x} + \sqrt{1 - x} (0 \le x \le 1)$

$\Leftrightarrow A^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{1 - x})^2$

$= x + 1 - x + 2\sqrt{x(1 - x)}$

$= 1 + 2\sqrt{x - x^2}$
Ta có: $x - x^2 = \dfrac{1}{4} + x - x^2 - \dfrac{1}{4}$

$= -\bigg(x^2 - x + \dfrac{1}{4}\bigg) + \dfrac{1}{4}$

$= -\bigg(x - \dfrac{1}{2}\bigg)^2 + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4}$ với mọi $x$ sao cho $0 \le x \le 1$
$\Leftrightarrow A^2 \le 1 + 2\sqrt{\dfrac{1}{4}} = 2$ với mọi $x$ sao cho $0 \le x \le 1$

$\Leftrightarrow A \le \sqrt{2}$ với mọi $x$ sao cho $0 \le x \le 1$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x - \dfrac{1}{2} = 0$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$

Ta có: $2\sqrt{x - x^2} \ge 0$ với mọi $x$ sao cho $0 \le x \le 1$

$\Rightarrow A = 1 + 2\sqrt{x - x^2} \ge 1$ với mọi $x$ sao cho $0 \le x \le 1$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x - x^2 = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\) 

Vậy $A_{\text{min}} = 1$ tại $x = 0$ hoặc $x = 1$, $A_{\text{max}} = \sqrt{2}$ tại $x = \dfrac{1}{2}$

b) Ta có: $1 \le  A \le \sqrt{2}$ với mọi $x$ sao cho $0 \le x \le 1$
$\Rightarrow A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow A = 1$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.\) 

Vậy $A \in \mathbb{Z}$ tại $x = 0$ hoặc $x = 1$