Lâu quá không học quên r ae
Cho `a,b,c 0`. CMR :
$\sum\limits_{ ext{cyc}} \dfrac{a^2}{a^2 + ab + b^2} \ge 1$ câu hỏi 7165835 - hoidap247.com

Question

Lâu quá không học quên r ae
Cho `a,b,c > 0`. CMR :
$\sum\limits_{	ext{cyc}} \dfrac{a^2}{a^2 + ab + b^2} \ge 1$

MIGQueen2025 · Answer

Ta có : `(a^2)/(a^2 +ab+b^2)+c/(a+b+c)=(a^2)/(a^2 +ab+b^2)+(c^2)/(ca+bc+c^2)>=^{Bunhia}((a+c)^2)/(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc+ca)`
Chứng minh tương tự và cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta có :
`LHS+(a+b+c)/(a+b+c)>=((a+b)^2 +(b+c)^2 +(c+a)^2)/(a^2 +b^2 +c^2 +a+b+c)`
`=>LHS+1>=2LHS>=1`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`

160710 · Answer

Ta có : `(a^2)/(a^2 +ab+b^2)+(c^2)/(c(a+b+c))>=((a+c)^2)/(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc+ca)`
`=>(a^2)/(a^2 +ab+b^2)+c/(a+b+c)>=((a+c)^2)/(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc+ca)`
Tương tự : `(b^2)/(b^2 +bc+c^2)+a/(a+b+c)>=((a+b)^2)/(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc+ca)`
`(c^2)/(c^2 +ac+a^2)+b/(a+b+c)>=((b+c)^2)/(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc+ca)`
Suy ra : `\sum_{cyc}(a^2)/(a^2 +ab+b^2)+(a+b+c)/(a+b+c)>=(\sum (a+b)^2)/(a^2 +b^2 +c^2 +ab+bc+ca)`
`=>\sum_{cyc}(a^2)/(a^2 +ab+b^2)>=1`
Dấu "=" xảy ra `a=b=c`
Vậy `\sum_{cyc}(a^2)/(a^2 +ab+b^2)>=1`

Lâu quá không học quên r ae

Cho `a,b,c > 0`. CMR :

$\sum\limits_{\text{cyc}} \dfrac{a^2}{a^2 + ab + b^2} \ge 1$

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

Lâu quá không học quên r ae Cho `a,b,c > 0`. CMR : $\sum\limits_{\text{cyc}} \dfrac{a^2}{a^2 + ab + b^2} \ge 1$

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?

Lâu quá không học quên r ae

Cho `a,b,c > 0`. CMR :

$\sum\limits_{\text{cyc}} \dfrac{a^2}{a^2 + ab + b^2} \ge 1$