Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $Δ ABE$ và $ΔADF$, có:

$\widehat{ABE} = \widehat{ADF}$ $(=90^o)$

$AB = AD$ (cạnh hình vuông)

$\widehat{FAD} = \widehat{EAB}$ (cùng phụ với $\widehat{DAE}$)

$⇒ Δ ABE=ΔADF(g-c-g)$

$⇒ AE = AF$

___________________________________

$b)$ Xét $ΔAEF$ vuông cân tại $A$ có $AI$ là trung tuyến

$⇒\left \{ {{ AI = FI = IE} \atop {\widehat{AIF}=\widehat{AIE}=90^o}} \right.$ 

$⇒ ΔAIF$ vuông cân tại $I$

$⇒ \widehat{IAF}=\widehat{IFA} = \frac{180^o-\widehat{AIF}}{2} = 45^o$

Do $ABCD$ là hình vuông

$⇒ Δ ADC$ vuông cân tại $D$

$⇒ \widehat{DAC}=\widehat{DCA} = \frac{180^o-\widehat{ADC}}{2} = 45^o$

Xét $ΔAKF$ và $ΔCAF$, có:

$\widehat{AFK}$ chung

$\widehat{KAF} = \widehat{FCA}$ $(=45^o)$

$⇒ ΔAKF~ΔCAF$

$⇒ \frac{AF}{KF} = \frac{CF}{AF}$
$⇔ AF^2 = CF.KF$

______________________________________________

$c)$ Do $ABCD$ là hình vuông

$⇒ AB = BC = CD = DA = 4$

$⇒ BE = \frac{3}{4} . 4 = 3$

Áp dụng định lý Pythagore vào $ΔABE$, có:

$AB^2 + BE^2 = AE^2$

$⇔ 16 + 9 = AE^2$

$⇔ AE = 5 = AF$

$S_{AEF} = \frac{AE.AF}{2} = \frac{5.5}{2} = \frac{25}{2} cm^2$

________________________________________________

$d)$ Xét $ΔAFD$ và $ΔMFA$, có:

$\widehat{ADF} = \widehat{MAF}$ $(=90^o)$

$\widehat{AFD}$ chung

$⇒ ΔAFD~ΔMFA(g-g)$ $(*)$

$⇒ \frac{AF}{FD} = \frac{MF}{AF}$
$⇔ AF^2 = FD.MF$ 

$⇔ \frac{1}{AF^2} = \frac{1}{FD.MF}$ $(1)$

$Xét$ΔADM$và$ΔFAM$, có:

$\widehat{ADm} = \widehat{MAF}$ $(=90^o)$

$\widehat{AMD}$ chung

$⇒ ΔADM~ΔFAM(g-g)$ $(**)$

$⇒ \frac{AM}{MD} = \frac{MF}{AM}$
$⇔ AM^2 = MD.MF$ 

$⇔ \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{MD.MF}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\frac{1}{AF^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{FD.MF} +\frac{1}{MD.MF}$

$⇔  \frac{1}{AF^2} + \frac{1}{AM^2} =  \frac{1}{MF}.(\frac{1}{FD} + \frac{1}{MD})$

$⇔ \frac{1}{AF^2} + \frac{1}{AM^2} =  \frac{1}{MF}.(\frac{MD}{FD.MD} + \frac{FD}{MD.FD})$

$⇔ \frac{1}{AF^2} + \frac{1}{AM^2} =  \frac{1}{MF}.\frac{MF}{FD.MD}$

$⇔  \frac{1}{AF^2} + \frac{1}{AM^2} =  \frac{1}{FD.MD}$ $(3)$

Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra $ΔADF ~ ΔMDA$ (cùng $~ΔMAF$)

$⇒ \frac{AD}{FD} = \frac{MD}{AD}$
$⇔ AD^2 = MD.FD$ $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $\frac{1}{AF^2} + \frac{1}{AM^2} =  \frac{1}{AD^2}$

Mà $AE = AF$

$⇒ \frac{1}{AE^2} + \frac{1}{AM^2} =  \frac{1}{AD^2}$

Do $AD$ là cạnh hình vuông nên $\frac{1}{AD^2}$ không đổi

Vậy $\frac{1}{AE^2} + \frac{1}{AM^2}$ không đổi