Đáp án:

Bài `18:`

`(x + 1)(x+2)^2(x + 3)`

` = [(x+1)(x+3)](x+2)^2`

` = (x^2+x+3x+3)(x^2+4x+4)`

` = (x^2+4x+3)(x^2+4x+4)`

Đặt `t = x^2 + 4x + 4 (t \ge 0)`

`=> t(t - 1) = t^2 - t = t^2 - t + 1/4 - 1/4 = (t - 1/2)^2 - 1/4 \ge -1/4`

Dấu "=" xảy ra khi : `t - 1/2 = 0 <=> t = 1/2` (thỏa mãn)

`=> (x + 1)(x + 2)^2(x + 3) \ge -1/4`

`=>` Số nguyên `m` lớn nhất thỏa mãn là `0`

Bài `19:`

`P = 5x^2 - |6x - 1| - 1`

Với `x \ge 1/6 => |6x - 1| = 6x - 1`

`=> P = 5x^2 - 6x + 1 - 1 = 5x^2 - 6x`

        ` = 5(x^2 - 6/5 x)`

        ` = 5(x^2 - 2 . 3/5 . x + 9/25 - 9/25) = 5(x - 3/5)^2 - 9/5 \ge -9/5` với mọi `x`

Dấu "=" xảy ra khi : `x - 3/5 = 0 <=> x = 3/5` (thỏa mãn)

Với `x < 1/6 => |6x - 1| = 1 - 6x`

`=> P = 5x^2 - 1 + 6x - 1 = 5x^2 + 6x - 2 = 5(x^2 + 6/5 x - 2/5)`

                                                                  ` = 5(x^2 + 6/5 x + 9/25 - 19/25)`

                                                                  ` = 5(x + 3/5)^2 - 19/5 \ge -19/5` với mọi `x`

Dấu "=" xảy ra khi : `x + 3/5 = 0 <=> x = -3/5` (thỏa mãn)

Vậy `x \ge 1/6` thì `P_{min} = -9/5` tại `x = 3/5`

`x < 1/6` thì `P_{min} = -19/5` tại `x = -3/5`

Bài `20:`

`x^2 + 4y^2 + z^2 - 2x + 8y - 6z + 15 = 0`

`<=> (x^2 - 2x + 1) + (4y^2 + 8y + 4) + (z^2 - 6z + 9) + 1 = 0`

`<=> (x - 1)^2 + 4(y^2 + 2y + 1) + (z - 3)^2 + 1 = 0`

`<=> (x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 + (z - 3)^2 +1 =0`

Vì `{((x-1)^2 \ge 0),( 4(y+1)^2 \ge 0),( (z-3)^2 \ge 0):}`

`=> (x-1)^2 + 4(y+1)^2 + (z-3)^2 \ge 0` với mọi `x;y;z`

`=> (x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 + (z - 3)^2 + 1 > 0` với mọi `x;y;z`

`=>` Không tồn tại `x;y;z` thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài `21:

`C = -3/(x^2 - 5x + 1)`

  ` = -3/(x^2 - 2 . x . 5/2 + 25/4 - 21/4)`

   ` = -3/( (x-5/2)^2 - 21/4)`

Vì `(x - 5/2)^2 - 21/4 \ge -21/4` với mọi `x`

`=> (-3)/((x-5/2)^2 - 21/4) \ge 4/7` với mọi `x`

Dấu "=" xảy ra khi : `x - 5/2 = 0 <=> x = 5/2`

Vậy `C_{min} = 4/7` tại `x = 5/2`