Giải thích các bước giải:

1.Vì $CD$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{CND}=90^o$

$\to \widehat{DNM}=\widehat{DOM}=90^o$

$\to OMND$ nội tiếp đường tròn đường kính $MD$

2.Ta có: $CD\perp AB\to CA=CB$

$\to \widehat{CNA}=\widehat{BNM}$

Mà $\widehat{ACN}=\widehat{ABN}=\widehat{MBN}$

$\to \Delta NAC\sim\Delta NMB(g.g)$

$\to \dfrac{AN}{NM}=\dfrac{AC}{MB}$

$\to AN.MB=AC.MN$

3.Ta có: $DN=r=OD=ON\to \Delta ODN$ đều

$\to \widehat{BON}=\widehat{BOD}-\widehat{DON}=30^o$

$\to \widehat{BAN}=\dfrac12\widehat{BON}=15^o$

Ta có: $\cos\widehat{BAN}=\dfrac{AN}{AB}$

$\to AN=AB\cos\widehat{BAN}=2r\cos(15^o)=\dfrac{(\sqrt6+\sqrt2)r}2$

Xét $\Delta AOE,\Delta ANB$ có:
Chung $\hat A$

$ \hat N(=90^o)$

$\to \Delta AOE\sim\Delta ANB(g.g)$

$\to \dfrac{AO}{AN}=\dfrac{AE}{AB}$

$\to AE=\dfrac{AB.AO}{AN}=r\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$

$\to OE=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{(r\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right))^2-r^2}=r(2-\sqrt3)$

$\to CE=CO+OE=r(3-\sqrt3), DE=OD-OE=r(\sqrt3-1)$