Cho đường tròn (O; R), vẽ dây AB cố định không đi qua tâm O. Lấy điểm S bất kỳ thuộc tia đối của tia AB. Kẻ hai tiếp tuyến SM, SN với (O) (M, N là các tiếp điểm, NN thuộc cung nhỏ AB). Gọi H là trung điểm AB.

a) Chứng minh tứ giác MNHO nội tiếp

.b) Phân giác của góc AMB cắt AB tại K. Chứng minh tam giác SMK cân và ΝΑ /ΜΑ =NB/MB

c.I là trung điểm NB.IF vuông góc với AN.Giả sử góc AOB bằng 120°.CNR khi F di động trên tia đối tia AB thì F luôn thuộc một đường tròn cố định và tính bán kính của đường tròn này theo R

Giải thích các bước giải:

a.Vì $H$ là trung điểm $AB\to OH\perp AB$

       $SM, SN$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{SMO}=\widehat{SNO}=\widehat{SHO}=90^o$

$\to S, N, H, O, M\in$ đường tròn đường kính $SO$

$\to MNHO$ nội tiếp

b.Ta có:

$\widehat{SMK}=\widehat{SMA}+\widehat{AMK}=\hat B+\widehat{KMB}=\widehat{SKM}$

$\to \Delta SMK$ cân tại $S$

Xét $\Delta SAN,\Delta SNB$ có:
Chung $\hat S$

$\widehat{SNA}=\widehat{SBN}$

$\to \Delta SAN\sim\Delta SNB(g.g)$

$\to \dfrac{AN}{NB}=\dfrac{SA}{SN}$

Tương tự $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{SA}{SM}$

Mà $SM, SN$ là tiếp tuyến của $(O)\to SM=SN$

$\to \dfrac{NA}{NB}=\dfrac{MA}{MB}$

$\to \dfrac{AN}{AM}=\dfrac{NB}{MB}$

c.Ta có: $I, H$ là trung điểm $BN, BA$

$\to HI$ là đường trung bình $\Delta ABN$

$\to HI//AN$

Mà $FI\perp AN\to FI\perp HI$

$\to \widehat{HIF}=\widehat{AHF}(=90^o)$

Mà $\widehat{IHF}=\widehat{HFA}$

$\to \Delta IHF\sim\Delta HFA(g.g)$

Gọi $C$ là trung điểm $OH$

Ta có: $OH\perp BA\to OH$ là trung trực $AB$

$\to HA=HB=\dfrac12AB, \widehat{HOA}=\widehat{HOB}=\dfrac12\widehat{AOB}=60^o$

$\to OH=\dfrac12OA=\dfrac12R, HA=HB=\dfrac{R\sqrt3}2\to AB=R\sqrt3$

$\to CH=CO=\dfrac12OH=\dfrac14R$

$\to CA=\sqrt{CH^2+HA^2}=\sqrt{(\dfrac14R)^2+(\dfrac{R\sqrt3}2)^2}=\dfrac{R\sqrt{13}}4$

Gọi $HI\cap BF=D$

Vì $HI//AN\to ID//NF$

     $I$ là trung điểm $BN$

$\to D$ là trung điểm $BF$

Chứng minh $C$ là tâm $(AFB)\to F\in (C, \dfrac{R\sqrt{13}}4)$ cố định