Đáp án:

a) $S_{ABCD} = 180 cm^{2}$

b) $S_{DNP} = 4 cm^{2}$

Giải thích các bước giải:

a) Vì $AB$ song song với $CD$ nên hai tam giác $ABC$ và $ADC$ có chiều cao bằng nhau.

    Xét hai tam giác $ABC$ và $ADC$ có $2AB$ $=$ $CD$ và chiều cao bằng nhau nên $S_{ADC}$ $=$ $2$. $S_{ABC}$ $=$ $2$. $60$ $=$ $120$ $(cm^{2})$ 

    Do đó, $S_{ABCD}$ $=$ $S_{ABC}$ $+$ $S_{ADC}$ $=$ $60$ $+ 120 = 180$ $(cm^{2})$

b) Xét hai tam giác $ADM$ và $MDC$ có $AM = CM$ và chung chiều cao hạ từ $D$ xuống $AC$ nên $S_{ADM} = S_{MDC}$

     Mà $S_{ADM} + S_{MDC} = S_{ADC}$ nên $S_{ADM} = S_{MDC} = \dfrac{1}{2}. S_{ADC} = \dfrac{1}{2}. 120 = 60 (cm^{2})$

     Vì $MN = 2. DN$ nên $DN = \dfrac{1}{3}. DM$

     Xét hai tam giác $ADN$ và $ADM$ có $DN = \dfrac{1}{3}. DM$ và chung chiều cao hạ từ $A$ xuống $DM$ nên $S_{ADN} = \dfrac{1}{3}. S_{ADM} = \dfrac{1}{3}. 60 = 20 (cm^{2})$

     Suy ra $S_{ANM} = S_{ADM} - S_{ADN} = 60 - 20 = 40 (cm^{2})$

     Xét hai tam giác $ANM$ và $CNM$ có $AM = CM$ và chung chiều cao hạ từ $N$ xuống $AC$ nên $S_{ANM} = S_{CNM} = 40 (cm^{2})$

     Do đó $S_{ANC} = S_{ANM} + S_{CNM} = 40 + 40 = 80 (cm^{2})$

     Mà $S_{ADM} - S_{ANM} = S_{MDC} - S_{MNC}$ nên $S_{ADN} = S_{NDC} = 20 (cm^{2})$

     Suy ra $\frac{S_{ADN}}{S_{ANC}} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$. Mà hai tam giác $ADN$ và $ANC$ có chung đáy $AN$ nên chiều cao hạ từ $D$ xuống $AN$ bằng $\frac{1}{4}$ chiều cao hạ từ $C$ xuống $AN$

     Xét hai tam giác $DNP$ và $CNP$ chung đáy $NP$ và chiều cao hạ từ $D$ xuống $AN$ bằng $\frac{1}{4}$ chiều cao hạ từ $C$ xuống $AN$ nên $S_{DNP} = \dfrac{1}{4}. S_{CNP}$.

     Mà $S_{DNP} + S_{CNP} = S_{NDC}$ nên $S_{DNP} = \dfrac{1}{5}. S_{NDC} = \dfrac{1}{5}. 20 = 4 (cm^{2})$