P=$\frac{x+y}{1+xy}$ =$\frac{2(x+y)}{2+xy}$ 

mà 2 = x²+y²

⇒P=$\frac{2(x+y)}{x^2+y^2+2xy}$ =$\frac{2(x+y)}{(x+y)^2}$ =$\frac{2}{x+y}$ 

Áp dụng BĐT bunhiacopski , ta có 

(x+y)²≤(1+1)(x²+y²) = 2 . 2 = 4 

⇒(x+y)²≤4

⇒x+y≤2

⇒$\frac{2}{x+y}$ ≥1 

⇒P≥1 

⇒Giá trị nhỏ nhất của P là 1 

dấu ''='' xảy ra khi 1x=1y ⇒x=y mà x²+y² =2 

⇒2x²=2

⇒x²=1

⇒x=1=y ( x;y>0)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x=y=1