`a)`

`Delta^'=((-2m)/2)^2-1*(-2m-5)=m^2+2m+5=(m^2+2m+1)+4=(m+1)^2+4 >= 4 > 0 \ forall \ m`

`=>` Phương trình có `2` nghiệm phân biệt với mọi `m` (đpcm)

`b)`

Theo hệ thức Viet, ta có: `{(x_1+x_2=-b/a=2m),(x_1x_2=c/a=-2m-5):}`

Ta có: `|x_1-x_2|=sqrt((x_1-x_2)^2)=sqrt(x_1^2+x_2^2-2x_1x_2)`

`=sqrt((x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1x_2)`

`=sqrt((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)`

`=sqrt(4m^2-4*(-2m-5))`

`=sqrt(4m^2+8m+20)`

`=sqrt((4m^2+8m+4)+16)`

`=sqrt(4(m+1)^2+16)`

Nhận thấy `4(m+1)^2+16 >= 16 \ forall \ m`

`=>` `sqrt(4(m+1)^2+16) >= sqrt(16)=4 \ forall \ m`

`=>` `|x_1-x_2| >= 4 \ forall \ m`

Dấu bằng xảy ra `<=>` `m+1=0` `<=>` `m=-1`

Vậy để `|x_1-x_2|` đạt GTNN thì `m=-1`