Mọi người giúp em giải bài tập này với ạ. Chi tiết một chút thì em cảm ơn nhiều ạ!

`a)`

Nhận thấy `2^x,2^(-x) > 0 \ forall \ x in RR`

Theo BĐT Cauchy, ta có: `2^x+2^(-x) >=2sqrt(2^x*2^(-x))=2sqrt(2^(x-x))=2`

Dấu bằng xảy ra `<=>` `2^x=2^(-x)` `<=>` `x=-x` `<=>` `x=0`

Vậy `y=2^x+2^(-x)` đạt GTNN là `2` tại `x=0`

`b)`

Nhận thấy `2^(x-1),2^(3-x) > 0 \ forall \ x in RR`

Theo BĐT Cauchy, ta có:

`2^(x-1)+2^(3-x) >= 2sqrt(2^(x-1)*2^(3-x))=2sqrt(2^(x-1+3-x))=4`

Dấu bằng xảy ra `<=>` `2^(x-1)=2^(3-x)` `<=>` `x-1=3-x` `<=>` `x=2`

Vậy `y=2^(x-1)+2^(3-x)` đạt GTNN là `4` tại `x=2`

`c)`

Đặt: `A=x/(1+x^2)`

`=>` `2A+1=(2x)/(1+x^2)+1=(x^2+2x+1)/(x^2+1)=((x+1)^2)/(x^2+1) >= 0`

`=>` `A >= -1/2`

`=>` `e^A >= e^(-1/2)=1/(sqrte)`

Dấu bằng xảy ra `<=>` `x+1=0` `<=>` `x=-1`

Vậy `y=e^(x/(1+x^2))` đạt GTNN là `1/(sqrte)` tại `x=-1`

`d)`

Nhận thấy `5^(sin^2x),5^(cos^2x) > 0 \ forall \ x in RR`

Theo BĐT Cauchy, ta có:

`5^(sin^2x)+5^(cos^2x) >= 2sqrt(5^(sin^2x)*5^(cos^2x))=2sqrt(5^(sin^2x+cos^2x))=2sqrt5`

Dấu bằng xảy ra `<=>` `5^(sin^2x)=5^(cos^2x)`

`<=>` `sin^2x=cos^2x`

`<=>` `1-cos2x=1+cos2x`

`<=>` `2cos2x=0`

`<=>` `cos2x=0`

`<=>` `2x=pi/2+kpi \ (k in ZZ)`

`<=>` `x=pi/4+(kpi)/2 \ (k in ZZ)`

Vậy `y=5^(sin^2x)+5^(cos^2x)` có GTNN là `2sqrt5` tại `x=pi/4+(kpi)/2 \ (k in ZZ)`