13) Cho A=2+2^2+2^3+....+2^60 a) thu gọn tổng A b) chứng tỏ rằng : A chia hết cho 3,5,7

a) A= 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ +...+ $2^{60}$ (1)

a) Nhân 2 vế của (1) cho 2

  2A= 2. ( 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ +...+ $2^{60}$ )

  2A= $2^{2}$ + $2^{3}$ + $2^{4}$ +...+ $2^{61}$ (2)

Trừ 2 vế của (2) cho (1)

  2A - A= ($2^{2}$ + $2^{3}$ + $2^{4}$ +...+ $2^{61}$) - ( 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ +...+ $2^{60}$ )

  A= $2^{2}$ + $2^{3}$ + $2^{4}$ +...+ $2^{61}$ - 2 - $2^{2}$ - $2^{3}$ -...- $2^{60}$

  A= $2^{61}$ - 2 

b) Cminh A chia hết 3

A= 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ +...+ $2^{60}$

A= (2 + $2^{2}$) +...+ ($2^{59}$ + $2^{60}$)

A= 2. (2+1) +...+ $2^{59}$. (2+1)

A= 2.3 +...+ $2^{59}$.3

A. 3. (2 +...+ $2^{59}$) chia hết cho 3 (Vì 3 chia hết cho 3)

     Cminh A chia hết cho 7

A= 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ +...+ $2^{60}$

A= (2 + $2^{2}$ + $2^{3}$) +...+ ($2^{58}$ + $2^{59}$ + $2^{60}$)

A= 2. ($2^{2}$ + 2+1) +...+ $2^{58}$. ($2^{2}$ + 2+1)

A= 2.7 +...+ $2^{58}$.7

A. 7. (2 +...+ $2^{58}$) chia hết cho 7 (Vì 7 chia hết cho 7)

     Cminh A chia hết cho 15

A= 2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ +...+ $2^{60}$

A= (2 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + $2^{4}$) +...+ ($2^{57}$ + $2^{58}$ + $2^{59}$ + $2^{60}$)

A= 2. ($2^{3}$ + $2^{2}$ + 2+1) +...+ $2^{57}$. ($2^{3}$ + $2^{2}$ + 2+1)

A= 2.15 +...+ $2^{57}$.15

A. 15. (2 +...+ $2^{57}$) chia hết cho 5 (Vì 15 chia hết cho 5)