1.Tìm tất cả các số nguyên tố p,q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn: pq/p+q = m^2+1/m+1 2. Tìm số tự nhiên A= n^2012 + n^2002 + 1 là số nguyên tố

$1)$

$\dfrac{pq}{p+q}=\dfrac{m^2 +1}{m+1}$

$<=>pq(m+1)=(p+q)(m^2 +1)$

* Với $p=q$, khi đó : $(m^2 +1).2p=p^2 (m+1)<=>p(m+1)=2(m^2 +1)$

$=>p=\dfrac{2(m^2 +1)}{m+1}\in N=>4\vdots m+1=>m\in{0;1;3}$

+) Với $m=0=>p=2$ ( Thỏa mãn )

+) Với $m=1=>p=2$ ( Thỏa mãn )

+) Với $m=3=>p=5$ ( Thỏa mãn )

* Xét $p\ne q=>(p,q)=1=>(p+q,q)=(p+q,p)=(p,q)=1$

Mà $pq(m+1)\vdots p+q=>m+1\vdots p+q$

Gọi $\text{gcd}(m^2 +1,m+1)=d=>m^2 +1\vdots d,m+1\vdots d=>2\vdots d$

+) Với $d=1$, khi đó : $(m^2 +1)(p+q)\vdots m+1=>p+q\vdots m+1$

Suy ra : $p+q=m+1=>pq=m^2 +1$

Có : $(p+q)^2 >=4pq=>(m+1)^2 >=4(m^2 +1)<=>2m>=3m^2 +3$ ( Vô lý )

+) Với $d=2$, khi đó : $\dfrac{m+1}{2}. pq =\dfrac{m^2 +1}{2}. (p+q)$

$=>\dfrac{m+1}{2}.pq\vdots \dfrac{m^2 +1}{2}=>pq\vdots \dfrac{m^2+1}{2}$

Lại có : $\dfrac{m^2 +1}{2}.(p+q)\vdots pq=>\dfrac{m^2 +1}{2}=pq$

Suy ra : $m^2 +1=2pq$ suy ra $m+1=2(p+q)$

Do $[2(p+q)]^2 >=16pq=>(m+1)^2 >=8(m^2+1)<=>7m^2 +7<=2m$ ( Vô lý )

Vậy $p=q=2$ hoặc $p=q=5$ 

$2)$

* Với $n=0$ thì $A$ là hợp số ( Loại ), với $n=1$ thì $A=3$ là số nguyên tố ( Nhận )

* Với $n>1=>n^{2012}+n^{2002}+1>n^2 +n+1$
Có : $n^{2012}+n^{2002}+1=n^2 (n^{2010}-1)+n(n^{2001}-1)+n^2 +n+1$

$\vdots n^3 -1+n^3 -1+n^2 +n+1$

$\vdots n^2 +n+1$

Mà $n^{2012}+n^{2002}+1>n^2 +n+1=>n^{2012}+n^{2002}+1$ có nhiều hơn $2$ ước tự nhiên

$=>A$ là hợp số ( Vô lý )

Vậy $n=1$