chứng minh rằng (n^4-1) chia hết cho 8 với n là số tự nhiên lẻ bất kì

`n^4 - 1`

` = (n^2 - 1)(n^2 + 1)`

` = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)`

Vì `n` là số tự nhiên lẻ đặt `n = 2k + 1 (k \in NN)`

`=> (2k + 1 - 1)(2k + 1+ 1)( (2k + 1)^2 + 1)`

` = 2k(2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 1)`

` = 2k . 2(k + 1)(4k^2 + 4k + 2)`

` = 4k(k + 1) . 2(2k^2 + 2k + 1)`

` = 8k(k + 1)(2k^2 + 2k + 1) \vdots 8` với mọi `k \in NN`

Vậy `n^4 - 1 \vdots 8` với mọi `n` là số tự nhiên lẻ