Tìm max của biểu thức bằng bđt Cauchy giúp mình với

Đáp án:

 `Max_H=sqrt3/3<=>x=sqrt3/3.`

Giải thích các bước giải:

 `H=(sqrt(2x+1))/(3x+2)(ĐKXĐ:x≥-1/2;x\ne-2/3)`

`TH_1:`

`x=-1/2=>H=(sqrt(2.(-1)/2+1))/(3.(-1)/2+2)`

`=>H=0.`

`TH_2:`

`x> -1/2.`

Đặt `sqrt(2x+1)=a(a≥0)`

`=>2x+1=a^2->x=(a^2-1)/2`

`=>H=a/(3/2. (a^2-1)+2)`

`=>H=a/(3/2a^2+1/2)`

`=>1/H=(3/2a^2+1/2)/a=(3a)/2+1/(2a)`

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số dương `(3a)/2` và `1/(2a)`, ta có:

`(3a)/2+1/(2a)≥2sqrt((3a)/2. (1)/(2a))`

`=sqrt3.`

`=>1/H≥sqrt3=>H≤1/sqrt3=sqrt3/3.`

Dấu "=" xảy ra khi: `(3a)/2=1/(2a)`

`=>a^2=1/3=>a=1/sqrt3`(do `a≥0`).

Vậy `Max_H=sqrt3/3<=>x=sqrt3/3.`

`@nguyen nam500#hoidap247.`