Tìm max của biểu thức bằng bđt Cauchy giúp mình với

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`H = (\sqrt{2x + 1})/(3x + 2)` (đkxđ: `x \geq -1/2 ; x \ne - 2/3)`

TH1: `x = -1/2`

`-> H = (\sqrt{2 . -1/2 + 1})/(3 . -1/2 + 2)`

`-> H = 0`

TH2: `x > -1/2`

Đặt `a = \sqrt{2x + 1} (a \geq0`

`-> 2x + 1 = a^2`

`-> x = (a^2 - 1)/2`

`-> H = a/(3 . (a^2 - 1)/2 + 2)`

`-> H = a/(3/2a^2 + 1/2)`

`-> 1/H = (3/2a^2 + 1/2)/a = (3a)/2 + 1/(2a)`

Áp dụng bđt cauchy cho `2` số dương ta có:

`(3a)/2 + 1/(2a) \geq 2 . \sqrt{ (3a)/2 . 1/(2a)} = \sqrt{3}`

`-> 1/H \geq \sqrt{3}`

`-> H \leq 1/(\sqrt{3}) = \sqrt{3}/3`

Dấu "=" xảy ra khi: `(3a)/2 = 1/(2a) <=> x = \sqrt{3}/3`

Vậy `H_max = \sqrt{3}/3` khi `x = \sqrt{3}/3`