Với A = n^4 + 14n^3 + 71n^2 + 154n + 120 (với n là stn) thì A ko là scp

Đáp án:

`A = n^4 + 14n^3 + 71n^2 + 154n + 120` không là số chính phương

Giải thích các bước giải:

Với `n in NN` ta có: 

`A = n^4 + 14n^3 + 71n^2 + 154n + 120`

`A = n^4 + 12n^3 + 47n^2 + 60n + 2n^3 + 24n^2 + 94n + 120`

`A = (n^4 + 12n^3 + 47n^2 + 60n) + (2n^3 + 24n^2 + 94n + 120)`

`A = n(n^3 + 12n^2 + 47n + 60) + 2(n^3 + 12n^2 + 47n + 60)`

`A = (n+2)(n^3 + 12n^2 + 47n + 60)`

`A = (n+2)(n^3 + 3n^2 + 9n^2 + 27n + 20n + 60)`

`A = (n+2)[(n^3 + 3n^2) + (9n^2 + 27n) + (20n + 60)]`

`A = (n+2)[n^2(n + 3) + 9n(n + 3) + 20(n +3)]`

`A = (n+2)(n+3)(n^2+9n+20)`

`A = (n+2)(n+3)(n^2 + 4n + 5n + 20)`

`A = (n+2)(n+3)[n(n+4) + 5(n+4)]`

`A = (n+2)(n+3)(n+4)(n+5)`

Ta xét:

`@` Với `n = 0 => A = 120` không là số chính phương

`@` Với `n> 0` ta có: `A = (n+2)(n+3)(n+4)(n+5)`

`A = [(n+2)(n+5)][(n+3)(n+4)]`

`A = (n^2 + 7n + 10)(n^2 + 7n + 12)`

Đặt `t = n^2 + 7n + 10 (t > 0)`

`=> A = t(t+2) = t^2 + 2t > t^2         (1)`

Lại có: `t^2 + 2t < t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2  (2)`

Từ `(1),(2) => t^2 < A < (t+1)^2`

Vì `t^2` và `(t+1)^2` là hai số chính phương liên tiếp 

`=> A` không là số chính phương với `n > 0` 

Do đó: `A = n^4 + 14n^3 + 71n^2 + 154n + 120` không là số chính phương

`=> đpcm`