Bài 1 (3,0 điểm). 1. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3. Chứng minh rằng : $\frac{1}{\sqrt{a^2+3}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b^2+3}}$ + $\frac{1}{\sqrt{c^2+3}}$ $\leq$ $\frac{3}{2abc}$ 2. Tìm tất cả đa thức P(x) có hệ số thực sao cho $P^2(x+1)−P^2 (x−1)=4x$ với mọi số thực x.

Đáp án + Giải thích các bước giải:

1)

$LHS=\sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{a^2+3}}=\sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq\dfrac{1}{2}\sum\limits_{cyc}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\sum\limits_{cyc} \dfrac{1}{a+b}\leq\dfrac{1}{4}\sum\limits_{cyc}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{cyc}\dfrac{1}{a}=\dfrac{ab+bc+ca}{2abc}=\dfrac{3}{2abc}$

Dấu `=` xảy ra khi và chỉ khi: `a=b=c=1` 

2) 

`P^2(x+1)-P^2(x-1)=4x` ta viết thành: `[P(x+1)-P(x-1)][P(x+1)+P(x-1)]=4x`

Vì vế phải là đa thức bậc nhất nên vế trái cũng là đa thức bậc nhất, khi đó hai đa thức trong tích của vế trái hoặc là thừa số một là bậc nhất và thừa số hai là hằng, hoặc là thừa số một là hằng và thừa số hai là bậc nhất

Nếu đặt `degP=n(n\inNN)` thì đa thức `P(x+1)+P(x-1)` là đa thức có bậc `n` và đa thức `P(x+1)-P(x-1)` là đa thức có bậc nhỏ hơn `n`

Từ đó ta suy ra đa thức `P(x+1)+P(x-1)` là đa thức bậc nhất, hay `P(x)` là đa thức bậc nhất

Khi đó ta đặt `P(x)=ax+b`, qua giả thiết ta được: `(ax+a+b)^2-(ax-a+b)^2=4x`

Phương trình trên tương đương: `a^2x+ab=x`

Đồng nhất hệ số ta được: `{(a^2=1),(ab=0):}` nên `{(a=1),(b=0):}` hoặc `{(a=-1),(b=0):}`

Vậy `P(x)\equivx` và `P(x)\equiv-x`