Cho tam giác $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia phân giác $\widehat{BAC}$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $E,F$ lần lượt là điểm chính giữa cung lớn $AC$ và cung lớn $AB$ của đường tròn $(O)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta BDE$ cắt $AB$ tại $M$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta CDF$ cắt $AC$ tại $N$. a) Chứng minh $B,C,M,N$ cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta AMN$. Gọi $AP,AQ$ lần lượt là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ABN$ và $\Delta ACM$. Chứng minh $BQ,CP,AI$ đồng quy. - Trích trong đề thi chọn Học Sinh Giỏi khu vực Duyên Hải và Đồng Bằng Bắc Bộ lần thứ XIV ngày 15/07/2023 -.