Trích : Chuyên toán Lam Sơn 2022-2023 Tìm tất cả các số nguyên dương `n `sao `2^n + n^2 + 25` là lập phương của một số nguyên tố

Đặt $2^n+n^2+25=p^3(p$ nguyên tố$)$

Do $n$ nguyên dương $\Rightarrow p>2$

$\Rightarrow p$ lẻ $\Rightarrow n$ chẵn.

$\bullet$ $n\equiv 0\pmod{6}\Rightarrow n=6k(k$ nguyên dương$)$

$\Rightarrow p^3=64^k + 36k^2+25\\\Rightarrow (4^k)^3 < p^3∀ k\in N^*$

Xét $k=1\Rightarrow p^3=125\Rightarrow p=5$ từ đó dễ dàng tìm được $n$.

Xét $k=2\Rightarrow p^3=4265$(Loại)

Xét $k=3\Rightarrow p^3=262493$(Loại)

Xét $k=4\Rightarrow p^3=16777817$(Loại)

Xét $k>4$

Ta chứng minh: $36k^2<3.4^k(1)$

Với $k=5$ thì $(1)$ đúng.

Giả sử $(1)$ đúng với $k=k_1(k_1$ nguyên dương $>5)$

$\Rightarrow 36k_1^2<3.4^{k_1}$

Ta chứng minh $(1)$ đúng với $k=k_1+1$ hay $36(k_1+1)^2<3.4^{k_1+1}(2)$

$(2)$ hiển nhiên đúng bằng cách khai triển và dùng $36k_1^2<3.4^{k_1}$.

Vậy $(1)$ được chứng minh theo giả thiết quy nạp.

Áp dụng $\Rightarrow p^3<(4^k+1)^3$

$\Rightarrow (4^k)^3<p^3<(4^k+1)^3$ (Loại)

$\bullet$ $n\equiv 2\pmod{6}\Rightarrow n=6k+2(k$ nguyên dương$)$

$\Rightarrow p^3=64^k . 4 +36k^2+24k+4+25\equiv 6-3k\pmod{9}\\\Rightarrow 3|p\Rightarrow p=3$

Với $p=3\Rightarrow 2^n+n^2=2$(Loại)

$\bullet$ $n\equiv 4\pmod{6}\Rightarrow n=6k+4(k$ nguyên dương$)$

$\Rightarrow p^3=64^k . 16 + 36k^2+48k+16+25\equiv 3k+3\pmod{9}\\\Rightarrow 3|p$

Tương tự dẫn đến vô lí.