Câu 5: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC với A(1;4), B(3;-1) và C(6;7). Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC

Đáp án:

$d: 3x+8y-35=0$ 

Giải thích các bước giải:

Cho tam giác $ABC$ với $A(1,4); B(3,-1); C(6,7)$

Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ sao cho $H\in BC$

Có `\vec{BC}=(3,8)`

Gọi $H=(a,b)$ vậy `\vec{AH}=(a-1,b-4)`

Mà $AH\bot BC$ nên `\vec{AH}.\vec{BC}=0`

Vậy $3(a-1)+8(b-4)=0$

`<=>3a-3+8b-32=0`

`<=>3a+8b-35=0` (*)

Mặt khác `\vec{CH}` cùng phương với `\vec{HB}`

Có `\vec{CH}=(a-6,b-7), \vec{HB}=(3-a,-1-b)`

Vậy $\dfrac{a-6}{3-a}=\dfrac{b-7}{-1-b}$

`=> (a-6)(-1-b)=(b-7)(3-a)`

`<=>-a-ab+6+6b=3b-ab-21+7a`

`<=>-a-ab+6b-3b+ab-7a=-21-6`

`<=>-8a+3b=-27` (**)

Từ (*) và (**) có:

$\begin{cases} 3a+8b-35=0\\-8a+3b=-27\ \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} a=\dfrac{321}{73}\\b=\dfrac{199}{73}\ \end{cases}$

Vậy $H\bigg(\dfrac{321}{73},\dfrac{199}{73}\bigg)$

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và $H$

$d$: `{(\text{qua} A(1,4)),(VTPT \vec{n}=\vec{BC}=(3,8)):}`

Vậy $d: 3x+8y-35=0$