Bài 5 (0,5 điểm). Chứng minh: $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{16}$ +...+ $\frac{1}{529}$ < $\frac{22}{23}$ 

Đáp án+Giải thích các bước giải:

A= $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{16}$ + ... + $\frac{1}{529}$ < $\frac{22}{23}$

=$\frac{1}{2²}$  + $\frac{1}{3²}$ + $\frac{1}{4²}$ + ... + $\frac{1}{23²}$ 

= $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{4}$ . $\frac{1}{4}$ +... + $\frac{1}{23}$ . $\frac{1}{23}$ 

Ta có : $\frac{1}{2²}$ = $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2}$ < $\frac{1}{1}$ . $\frac{1}{2}$ 

        $\frac{1}{3²}$ = $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ < $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{3}$ 

        $\frac{1}{4²}$ = $\frac{1}{4}$ . $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{4}$ 

          .     .       .

        $\frac{1}{23²}$ = $\frac{1}{23}$ . $\frac{1}{23}$ < $\frac{1}{22}$ . $\frac{1}{23}$ 

⇒ $\frac{1}{2²}$  + $\frac{1}{3²}$ + $\frac{1}{4²}$ + ... + $\frac{1}{23²}$ < $\frac{1}{1}$ . $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{4}$ +...+ $\frac{1}{22}$ . $\frac{1}{23}$ 

A< $\frac{1}{1.2}$ + $\frac{1}{2.3}$ + $\frac{1}{3.4}$ +...+ $\frac{1}{22.23}$ 

A< $\frac{1}{1}$ - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ +...+ $\frac{1}{22}$ - $\frac{1}{23}$ 

A< $\frac{1}{1}$ - $\frac{1}{23}$ 

A<  $\frac{22}{23}$ 

Vậy A < $\frac{22}{23}$