Bài 5: (0.75 điểm) Bác Hùng muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Bác Hùng chỉ mua được 40m hàng rào. Gọi x>0(m)là chiều dài hình chữ nhật. a) Tính diện tích vườn hoa theo z biết rằng bác Hùng sử dụng hết 40m hàng rào . b) Bác Hùng muốn diện tích vườn hoa ít nhất 64m2. Hỏi chiều dài của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Vì hàng rào bao quanh vườn hoa nên chu vi vườn hoa là $40m$

$\Rightarrow$ Nửa chu vi vườn hoa là $20m$
$\Rightarrow$ Chiều rộng vườn hoa là $20 - x(m)$

$\Rightarrow$ Diện tích vườn hoa là $x(20 - x) = 20x - x^2(m^2)$
b) Vì chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên $x > 20 - x$

$\Leftrightarrow 2x > 20$

$\Leftrightarrow x > 10(1)$

Diện tích vườn hoa ít nhất $64m^2$
$\Rightarrow 20x - x^2 \ge 64$
$\Leftrightarrow -x^2 + 20x - 64 \ge 0$
Đặt $f(x) = -x^2 + 20x - 64$

$f(x)$ có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x=4\\x=16\end{array} \right.\), $a = -1 < 0$

Bảng xét dấu:

\begin{array}{|c|cc|} \hline x&-\infty&&4&&16&&+\infty\\\hline f(x) = -x^2 + 20x - 64&&-&0&+&0&-& \\\hline \end{array}

$\Rightarrow f(x) \ge 0$ khi $4 \le x \le 16$

Kết hợp với $(1) \Rightarrow 10 < x \le 16$
Vậy chiều dài của vườn hoa nằm trong khoảng $(10; 16]$