Bài 4 (3,5 điểm). Cho $\triangle$ABC vuông tại A, AB = 6cm, BC = 10cm. a) Tính độ dài cạnh AC. b) Gọi H là hình chiếu của A trên BC, trên tia đối của tia HA lấy D sao cho H là trung điểm của AD. Chứng minh rằng: $\triangle$AHC = $\triangle$DHC c) Vẽ đường trung tuyển DK của $\triangle$ADC, DK cắt BC tại M. Gọi N là trung điểm CD. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.

a)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (Định lý Pytago)

${{10}^{2}}={{6}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$A{{C}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}=64$

$AC=8cm$

b)

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$ và $\Delta DHC$ vuông tại $H$, ta có:

   $CH$ là cạnh chung

   $HA=HD$ ($H$ là trung điểm $AD$)

Nên $\Delta AHC=\Delta DHC\left( ch-cgv \right)$

c)

Xét $\Delta ADC$ có hai đường trung tuyến $CH,DK$ cắt nhau tại $M$

Nên $M$ là trọng tâm của $\Delta ADC$

Do đó $AM$ đi qua trung điểm của $CD$

Mà $N$ là trung điểm của $CD$

Vậy ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng