Bài 8: (2,5đ) Cho $\triangle$ABC vuông tại A, đường phân giác BD (D $\in$ AC). Kẻ DE $\bot$ BC tại E a/ Chứng minh $\triangle$ABD=$\triangle$EBD b/ Chứng minh BD là dường trung trực của đoạn thẳng AE c/ Đường thẳng AB cắt đường thẳng DE tại F. Chứng minh AE // CF

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Xét `Δ\ ABD` và `Δ\ EBD` ta có:

`\hat{BAD} = \hat{BED} = 90^o`

`\hat{ABD} = \hat{EBD}` (Do `BD` là tia phân giác)

`BD` chung

`=> Δ\ ABD = Δ\ EBD` (cạnh huyền - góc nhọn)

-----------------------------------------------------------------------------------------------

b) Do `Δ\ ABD = Δ\ EBD `

`=> AB = EB\ (2` cạnh tương ứng)

Gọi giao điểm của `BD` với `AE` là `K`

Xét `Δ\ ABK` và `Δ\  EBK` ta có:

`AB = EB` (chứng minh trên)

`\hat{ABK} = \hat{EBK}` (Do `BD` là tia phân giác)

`BK` chung

`=> Δ\ ABK = Δ\  EBK` (c-g-c)

`=> AK = EK` (2 cạnh tương ứng)                         

`=> K` là trung điểm `AE`                   (1)

`=> \hat{AKB} = \hat{EKB}` (2 góc tương ứng)

Mà `\hat{AKB} + \hat{EKB} = 180^o` (Do là 2 góc kề bù)

`=> \hat{AKB} = \hat{EKB} = 180^o : 2 = 90^o`

`=> BK ⊥ AE`                                    (2)

Từ (1) và (2) `=>` BK là đường trung trực của đoạn thẳng AE

hay `BD` là dường trung trực của đoạn thẳng `AE`

-----------------------------------------------------------------------------------------------

c) Gọi giao điểm của `BD` với `FC` là `H`

Theo câu `b` ta có `Δ\ ABK = Δ\  EBK`

`=> \hat{BAK} = \hat{BEK}`                        (3)

Do `\hat{BAD} = \hat{BED} = 90^o`

hay `\hat{BAK} + \hat{KAD} =\hat{BEK} + \hat{KED} `         (4)|

Từ (3) và (4) `=> \hat{KAD} = \hat{KED} `

`=>` Tam giác `ADE` cân tại `D` (Do có 2 góc ở đáy bằng nhau là `\hat{KAD} = \hat{KED} )`

`=> DA = DE`

Xét `Δ\ DAF` và `Δ\ DEC` ta có:

`\hat{DAF} = \hat{DEC} = 90^o`

`DA = DE` (chứng minh trên)

`\hat{ADF} = \hat{EDC}` ( 2 góc đối đỉnh)

`=> Δ\ DAF = Δ\ DEC` (g-c-g)

`=> AF = EC` ( 2 cạnh tương ứng)                                  (5)

Theo câu b, ta đã chứng minh được `AB = EB`               (6)

Từ (5) và (6) `=> AF + AB = EC + EB`

`<=> BF = BC`

Xét `Δ\ BFH` và `Δ\  BCH` ta có:

`BF = BC` (chứng minh trên)

`\hat{ABK} = \hat{EBK}` (Do BD là tia phân giác)

`BH` chung

`=> Δ\ BFH = Δ\  BCH` (c-g-c)

`=> \hat{BHF} = \hat{BHC}` (2 góc tương ứng)

Mà `\hat{BHF} + \hat{BHC} = 180^o` (Do là 2 góc kề bù)

`=> \hat{BHF} = \hat{BHC} = 180^o : 2 = 90^o`

`=> BH ⊥ FC`  hay `BD ⊥ FC`                             

Mà theo câu `b`, ta chứng minh được `BD ⊥ AE`        

`=> AE` // `FC`