Câu 3 (4,0 điểm) Có một số chai sữa hoàn toàn giống nhau, đều đang ở nhiệt độ ban đầu là t_{x} . Người ta thả từng chai lần lượt vào một bình cách nhiệt chứa nước, sau khi nhiệt thì lấy ra rồi thả chai khác vào. Nhiệt độ nước ban đầu trong bình là t_{0} = 41 ^ 0 * C chai thứ nhất khi lấy ra có nhiệt độ t_{1} = 38 ^ 0 * C chai thứ hai khi lấy ra có nhiệt độ t_{2} = 35.5 ^ 0 * C Bỏ qua sự hao phí nhiệt. a. Tìm nhiệt độ ban đầu của các chai sữa. b. Đến chai thứ bao nhiêu thì khi lấy ra nhiệt độ nước trong binh bắt đầu nhỏ hơn 29°C.

   $\textit{Tóm tắt:}$

$t_x$

$t_0=41^oC$

$t_1=38^oC$

$t_2=35,5^oC$

$\underline{t'=29^oC\hspace{15pt}}$

$a/~t_x=~?~^oC$

$b/~n=~?$

                                         $\textit{Giải:}$

Gọi $q~(J/K)$ là nhiệt dung của mỗi chai sữa, $q_0~(J/k)$ là nhiệt dung của nước và bình cách nhiệt.

$a/$ Vì nhiệt độ của nước giảm dần nên $t_x<t_0$, nước tỏa nhiệt, các chai sữa thu nhiệt.

$*$ Lần thả thứ nhất:

     Nhiệt lượng chai sữa thu vào để tăng nhiệt độ từ $t_x\rightarrow38^oC$ là:

         $Q_1=q(t_1-t_x)=q(38-t_x)~(J)$

     Nhiệt lượng nước và bình cách nhiệt tỏa ra để hạ nhiệt độ từ $41\rightarrow38^oC$ là:

         $Q_1'=q_0(t_0-t_1)=q_0(41-38)=3q_0~(J)$

Theo phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

      $Q_1=Q_1'$

$\Leftrightarrow q(38-t_x)=3q_0~~^{(1)}$

$*$ Lần thả thứ hai:

Coi như cả $2$ chai sữa thu nhiệt, nước và bình cách nhiệt tỏa nhiệt.

     Nhiệt lượng $2$ chai sữa thu vào để tăng nhiệt độ từ $t_x\rightarrow35,5^oC$ là:

         $Q_2=2q(t_2-t_x)=2q(35,5-t_x)=q(71-2t_x)~(J)$

     Nhiệt lượng nước và bình cách nhiệt tỏa ra để hạ nhiệt độ từ $41\rightarrow38^oC$ là:

         $Q_2'=q_0(t_0-t_2)=q_0(41-35,5)=5,5q_0~(J)$

Theo phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

      $Q_2=Q_2'$

$\Leftrightarrow q(71-2t_x)=5,5q_0~~^{(2)}$

Lấy $^{\dfrac{(1)}{(2)}}$, ta được:

      $\dfrac{38-t_x}{71-2t_x}=\dfrac{3}{5,5}$

$\Leftrightarrow 38-t_x=\dfrac{426}{11}-\dfrac{12}{11}t_x$

$\Leftrightarrow t_x=8^oC$

Vậy nhiệt độ ban đầu của các chai sữa là $8^oC$

$b/$ Gọi $n$ là số chai sữa cần thả ít nhất để nhiệt độ của nước bằng hoặc thấp hơn $29^oC$.

$(n\in\mathbb{N},n>2)$

$*$ Lần thả thứ $n$:

Coi như cả $n$ chai sữa thu nhiệt, nước và bình cách nhiệt tỏa nhiệt.

     Nhiệt lượng $n$ chai sữa thu vào để tăng nhiệt độ từ $8\rightarrow 29^oC$ là:

         $Q_n=nq(t'-t_x)=nq(29-8)=21nq~(J)$

     Nhiệt lượng nước và bình cách nhiệt tỏa ra để hạ nhiệt độ từ $41\rightarrow29^oC$ là:

         $Q_n'=q_0(t_0-t')=q_0(41-29)=12q_0~(J)$

Theo phương trình cân bằng nhiệt, ta có:

      $Q_n=Q_n'$

$\Leftrightarrow 21nq=12q_0~~^{(3)}$

Lấy $^{\dfrac{(3)}{(1)}}$, ta được:

      $\dfrac{21n}{38-8}=\dfrac{12}{3}$

$\Leftrightarrow n=\dfrac{40}{7}\approx5,7$

Vì $n\in\mathbb{N}$ nên ta chọn $n=6$.

Vậy đến chai thứ $6$ thì khi lấy ra nhiệt độ nước trong bình bắt đầu thấp hơn $29^oC$.

________

$*$ Lưu ý:

$-$ Nếu tính ra $n\in\mathbb{N}$ thì đến chai thứ $n+1$ nhiệt độ mới thấp hơn mức đề cho.

$-$ Nếu tính ra $n\notin\mathbb{N}$ thì lấy $n$ là số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn số vừa tính được.