Cho `F(x)` là một nguyên hàm số `f(x)=(sin2x)/(1+cosx)` thỏa mãn `F( π/2)=0` Tính `F(0)`

$\begin{array}{l} F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{{\sin 2x}}{{1 + \cos x}}dx}  = \int {\dfrac{{2\sin x\cos x}}{{1 + \cos x}}dx} \\ t = 1 + \cos x \Rightarrow dt =  - \sin xdx\\ F\left( x \right) =  - \int {\dfrac{{2\cos x\left( { - \sin x} \right)}}{{1 + \cos x}}dx}  =  - 2\int {\dfrac{{\left( {t - 1} \right)dt}}{t} =  - 2\int {\left( {1 - \dfrac{1}{t}} \right)dt} } \\  = \int {\left( {\dfrac{2}{t} - 2} \right)dt}  = 2\ln \left| t \right| - 2t + C = 2\ln \left| {1 + \cos x} \right| - 2\left( {1 + \cos x} \right) + C\\ F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\ln \left| {1 + \cos \dfrac{\pi }{2}} \right| - 2\left( {1 + \cos \dfrac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = 2\\  \Rightarrow F\left( x \right) = 2\ln \left| {1 + \cos x} \right| - 2\left( {1 + \cos x} \right) + 2\\ F\left( 0 \right) = 2\ln 2 - 2\left( {1 + 1} \right) +2 = 2\ln 2 - 2 \end{array}$