cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm D thuộc cạnh huyền BC (D không trùng B và C) . Gọi M, N lần lượt đối xứng với D qua AB, AC. Gọi I là giao điểm của MD với AB, K là giao điểm của ND với AC.a)Chứng minh tứ giác AIDK là hình chữ nhật. b)Chứng minh Mđối xứng với N qua A.c)Tìm vị trí của D trên cạnh BC sao cho CMđi qua trung điểm của IK.

Đáp án:

a) Tứ giác AIDK là hình chữ nhật

b) M đối xứng với N qua A

c) Để CM đi qua trung điểm của IK thì D là trung điểm cạnh BC

Giải thích các bước giải:

a)

M đối xứng với D qua AB (gt)

I là giao điểm của MD với AB (gt)

$\to MI=ID, MD\bot AB$ tại I

Tương tự: $NK=KD, ND\bot AC$ tại K

Xet tứ giác AIDK:

$\widehat{IAK}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AID}=90^o\,\,\,(DI\bot AB)\\\widehat{AKD}=90^o\,\,\,(DK\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AIDK là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

$\to$ 2 đường chéo AD và IK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là điểm O

$\to ID//AK, ID=AK; IA//DK, IA=DK$

b)

Xét tứ giác MIKA:

$MI//AK\,\,\,(ID//AK)\\MI=AK\,\,\,(=ID)$

$\to$ Tứ giác MIKA là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

$\to MA//IK, MA=IK$

Xét tứ giác AIKN:

$IA//KN\,\,\,(IA//DK)\\IA=KN\,\,\,(=DK)$

$\to$ Tứ giác AIKN là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

$\to AN//IK, AN=IK$

$\to$ M, A, N thẳng hàng

$\to MA=AN$

$\to$ M đối xứng với N qua A

c)

Để CM đi qua trung điểm của IK

Hay CM đi qua điểm O

$\to$ CM cắt AD tại trung điểm O của mỗi đường

$\to$ Tứ giác CAMD là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$\to MD=AC\\\to 2ID=AC\\\to ID=\dfrac{1}{2}AC$

Mà $ID//AC\,\,\,(ID//AK)$

$\to$ ID là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ D là trung điểm của BC

Vậy để CM đi qua trung điểm của IK thì D là trung điểm cạnh BC