47
20
CM ngắn gọn bất đẳng thức trên.
Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5*
nếu câu trả lời hữu ích nhé!
9489
7715
Đáp án:
Đặt `\root{3}{a} = x ; \root{3}{b} = y ; \root{3}{c} = z (x;y;z \ge 0)`
`=> \root{3}{abc} = xyz`
`a + b + c = x^3 + y^3 + z^3`
Xét `x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz`
` = (x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3 - 3xyz`
` = (x +y + z)[ (x + y)^2 - z(x +y) + z^2] - 3xy(x + y + z)`
` = (x+ y + z)(x^2 + 2xy + y^2 - xz - yz + z^2 - 3xy)`
` = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)`
` = 1/2(x + y +z)(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz)`
` = 1/2(x + y + z)[ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (x - z)^2]`
Vì `1/2[ (x -y )^2 + (y - z)^2 + (x -z)^2] \ge 0`
`x + y + z \ge 0` (Do `x + y + z \ge 0`)
`=> 1/2(x + y + z)[ (x -y)^2 + (y - z)^2 + (x-z)^2]`
`=> x^3 + y^3 + z^3 \ge 3xyz`
`=> (x^3 + y^3 + z^3)/3 \ge xyz`
`=> (a + b + c)/3 \ge \root{3}{abc}` (đpcm)
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
Bảng tin