Phải đặt một vật thật cách thấu kính hội tụ (tiêu cự f) một khoảng bao nhiêu để cho khoảng cách giữa vật và ảnh thật cho bởi thấu kính có giá trị nhỏ nhất ?

Gọi $d$ là khoảng cách từ vật đến thấu kính $(d>0)$

Vì $A'B'$ là ảnh thật $\Rightarrow d > f$

       $d'$ là khoảng cách từ ảnh đến thấu kính $(d'>0)$

       $L$ là khoảng cách từ vật đến ảnh thật $(L>0)$

Ta có: $\triangle OAB \backsim \triangle OA'B'$ $(g.g)$

Nên $\dfrac{OA}{OA'}=\dfrac{AB}{A'B'}~^{1)}$

            $\triangle F'OI \backsim \triangle F'A'B'$ $(g.g)$

Nên $\dfrac{OF'}{A'F'}=\dfrac{OI}{A'B'}$

Mà $OI=AB$ (Khoảng cách hai đoạn thẳng song song)

$\Rightarrow\dfrac{O'F'}{A'F'}=\dfrac{AB}{A'B'}~^{2)}$

Từ $^{1)}$ và $^{2)}$, suy ra:

      $\dfrac{OA}{OA'}=\dfrac{OF'}{A'F'}$

$\Leftrightarrow\dfrac{OA}{OA'}=\dfrac{OF'}{OA'-OF'}$

$\Leftrightarrow\dfrac{d}{d'}=\dfrac{f}{d'-f}$

$\Leftrightarrow\dfrac{d}{L-d}=\dfrac{f}{L-d-f}$

$\Leftrightarrow dL-d^2-df=fL-df$

$\Leftrightarrow d^2-dL+fL=0$

Đặt $a=1,b=-L,c=fL$

$\Delta = b^2-4ac=(-L)^2-4.1.fL=L^2-4fL=L(L-4f)$

Để $d$ tồn tại thì PT phải có nghiệm.

PT có nghiệm khi $\Delta \ge 0$

Mà $L>0$

$\Leftrightarrow\begin{cases} L\ge0\\L-4f\ge0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} L\ge0\\L\ge4f \end{cases}\Leftrightarrow L\ge4f$

$\Rightarrow L_{min}=4f~(TM)$

$*~f>0$ nên $4f>0$

Phương trình lúc này có nghiệm kép:

$d=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{-(-L_{min})}{2.1}=\dfrac{4f}{2}=2f~(TM)$

$*~f>0$ nên $2f>f>0$

Vậy cần đặt vật cách thấu kính một khoảng $d=2f$ để khoảng cách giữa vật và ảnh thật tạo bởi thấu kính có giá trị nhỏ nhất.