Tìm nghiệm nguyên của phương trình: `x^4 - x^2 +2x^2y-2xy+2y^2-2y-36=0`

~ Bạn tham khảo ~

`x^4 - x^2 + 2x^2y - 2xy + 2y^2 - 2y - 36 = 0`

`<=> (x^4 + 2x^2y + y^2) - 2x^2 - 2y + 1 + x^2 - 2xy + y^2 = 37`

`<=> (x^2 + y - 1)^2 + (x - y)^2 = 37`

`=> 37` là tổng `2` số chính phương

Mà chỉ có `1^2 + 6^2 = 37`

`=> (x^2 + y - 1)^2 +  (x - y)^2 = 1^2 + 6^2`

Trường hợp `1`:

`(x^2 + y - 1)^2 = 1^2` và `(x - y)^2 = 6^2`

Nếu `x^2 + y - 1 = 1` và `x - y = 6`

`=> y = x - 6`

`=> x^2 + x - 6 - 1= 1`

`=> x^2 + x - 8 = 0`

`=> (x + 1/2)^2 - 33/4 = 0`

`=> x + 1/2 = (\sqrt{33})/2` (Vô lý vì `x` nguyên)

Nếu `x^2 + y - 1=  -1` và `x - y = 6`

`=> y = x - 6`

`=> x^2 + x - 6 =-1 + 1`

`=> x^2 + x - 6 = 0 (1)`

`=> (x + 3)(x - 2) = 0`

`=> x = -3` thì `y = -9` hoặc `x =2 ` thì `y = -4`

Tương tự với `x^2 + y - 1 = -1` và `x - y = -6`

`=> x^2 + x + 6 = 0` (Vô lý)

`x^2 + y - 1 = 1` và `x - y = -6`

`=> x^2 + x + 9 = 0` (Vô lý)

Trường hợp `2`:

`(x^2 + y - 1)^2 = 6^2` và `(x - y) = 1^2`

Nếu `x^2 + y - 1=  6` và `x - y = 1`

`=> y = x - 1`

`=> x^2 + x - 8 = 0`

`=> (x + 1/4)^2 - 33/4 = 0` (Vô lý vì `x,y` nguyên)

Nếu `x^2 + y - 1 = 6` và `x - y = -1`

`=> y = x + 1`

`=> x^2 + x = 6`

`=> x^2 + x - 6 = 0` (Tương tự như ở `(1)`

Nếu `x^2 + y - 1=  -6` và `x - y = -1`

`=> y = x + 1`

`=> x^2 + x=  -6`

`=> x^2 + x + 6 = 0` (Vô nghiệm)

Nếu `x^2 + y - 1=  -6` và `x - y = 1`

`=> y = x - 1`

`=> x^2 + x - 2=  -6`

`<=> x^2 + x + 4 = 0` (Vô nghiệm)

Vậy phương trình có `(x ; y) = (-3 ;  -9) ; (2 ; -4)`