Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB. a, Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. b, Chứng minh OM vuông góc với AB tại I c, Từ B kẻ đường kính BC của đường tròn (O), đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C). Chứng minh tam giác BDC vuông, từ đó suy ra: MD.MC = MI.MO d, Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với MC tại E và cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh: FC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Vẽ hình giúp mk luôn với ạ.

a) Ta có

$MA$ là tiếp tuyến của đường tròn (gt)

 `=>` $MA  \perp  OA $ => $\widehat{MAO} = 90° $ 

$MB$ là tiếp tuyến của đường tròn (gt)

 `=>` $MB  \perp  OB $ => $\widehat{MBO} = 90° $

Xét tứ giác $MAOB$ có $\widehat{MAO} + \widehat{MBO} = 180° $ mà chúng ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác $MAOB$ là tứ giác nội tiếp 

`=>` $M,A,O,B $ cùng thuộc $1$ đường tròn

b) Ta có $MA,MB$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại $M$

`=>` $MA = MB $ `=>` $MO $ là tia phân giác $\widehat{AMB} $

Xét $∆AMI $ và $∆BMI$ 

Có $MA = MB$ (cmt)

$\widehat{AMI} = \widehat{BMI} $ (cmt) 

$MI $ chung => $∆AMI = ∆BMI $ (c.g.c)

`=>` $\widehat{AIM} = \widehat{BIM} $ 

Mà $\widehat{AIM} + \widehat{BIM} = 180° $ (kề bù)

`=>` $\widehat{AIM} = \dfrac{180°}{2} = 90° $

`=>` $MO \perp AB $ tại $I $

c) Ta có: $\widehat{BDC} = 90° $(Góc nội tiếp chắn đường kính $BC$) 

`=>` $∆BDC$ vuông tại $D\Rightarrow BD\bot CD$

$\Delta BCM\bot B$ (do $BM$ là tiếp tuyến của (O))

Hệ thức lượng vào $\Delta BCM\bot B, BD\bot CD$ (chứng minh trên) ta có:

$BM^2=MD.MC$ (1)

Xét $∆MAO$ vuông tại A

$AI \perp OM $ (Vì $AB \perp OM$) `=>` $AM^2 = MI.MO $ (2)

mà $AM=BM$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3) 

Từ (1), (2) và (3) `=>` $MD.MC = MA^2 = MI.MO$

d) Xét $∆EOM$ cà $∆IOF$ 

$\widehat{EOM} $ chung 

$\widehat{OIF} = \widehat{OEM} =90° $ (gt &cm)

`=>` $∆EOM \sim ∆IOF $ (g.g)

`=>` $\dfrac{OE}{OI} = \dfrac{OM}{OF} $ (tỉ số đồng dạng)

`=>` $OE.OF = OM.OI$

Lại có $∆OAM$ vuông tại $A$

Mà $AI \perp OM$ (cmt)

`=>` $OA^2 = OI.OM$ Mà $OA = OC = R$

`=>` $OC^2 = OF.OE$

`=>` $\dfrac{OC}{OE}= \dfrac{OF}{OC}$

Xét $∆OCF $ và $∆OCE$ có 

$\widehat{COF} $ chung 

$\dfrac{OC}{OE} = \dfrac{OF}{OC} $

`=>` $∆OCF \sim ∆OEC $ $(c.g.c)$

`=>` $\widehat{OFC} = \widehat{OCE} = 90° $

`=>` $ OC \perp CF $ tại C

`=>` $FC$ là tiếp tuyến của đường tròn 

(ĐPCM)