Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 12cm , ÁC= 16cm. Kẻ đường cao AH và đường phân giác AD của tam giác.

a, Chứng minh : Tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

b , Tìm tỷ số diện tích tam giác ABD và tam giác ADC

c, Tính BC , BD , AH

d, Tính diện tích tam giác AHD

Đáp án:

a) $\triangle HBA\backsim\triangle ABC$

b) $\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\dfrac{3}{4}$

c) $BC=20cm; DB=\dfrac{60}{7}cm; AH=9,6cm$

d) $S_{\triangle AHD}=\dfrac{1152}{175}cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle HBA$ và $\triangle ABC:

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{HBA}$: chung

$\to\triangle HBA\backsim\triangle ABC$ (g.g)

b)

$\triangle ABC$ có đường phân giác AD (gt)

$\to\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$

Ta có:

$\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.DB}{\dfrac{1}{2}.AH.DC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{3}{4}$

c)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20(cm)$

Ta có:

$\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{3}{4}\\\to DC=\dfrac{4}{3}DB$

$DB+DC=BC=20(cm)\\\to DB+\dfrac{4}{3}DB=20\\\to 7DB=60\\\to DB=\dfrac{60}{7}(cm)$

$\triangle HBA\backsim\triangle ABC$ (cmt)

$\to\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{CA}{CB}\\\to AH=\dfrac{AB.CA}{CB}=\dfrac{12.16}{20}=9,6(cm)$

d)

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$HA^2+HB^2=AB^2$ (định lý Pytago)

$\to HB=\sqrt{AB^2-HA^2}=\sqrt{12^2-9,6^2}=7,2(cm)$

$\to DH=DB-HB=\dfrac{60}{7}-7,2=\dfrac{48}{35}(cm)$

$S_{\triangle AHD}=\dfrac{1}{2}.AH.DH=\dfrac{1}{2}.9,6.\dfrac{48}{35}=\dfrac{1152}{175}(cm^2)$