......................

Đáp án:

$\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=5$

${{T}_{1}}{{T}_{2}}:x-2y-2=0$

Giải thích các bước giải:

$\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y-5=0$

$\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=10$

Tâm $I\left( 1;2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{10}$

Với $A\left( 3;-2 \right)$ và $I\left( 1;2 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( 2;-4 \right)\Rightarrow IA=2\sqrt{5}$

Theo Pytago, tính được $A{{T}_{1}}=\sqrt{10}$

Vậy $\Delta A{{T}_{1}}I$ vuông cân tại ${{T}_{1}}$

Tức là $A{{T}_{1}}I{{T}_{2}}$ là hình vuông

Khi đó gọi $H$ là giao điểm $AO$ và ${{T}_{1}}{{T}_{2}}$

Thì $H$ sẽ là trung điểm của $AI$ và cũng là tâm của hình vuông

$\Rightarrow H\left( 2;0 \right)$ và $H$ là tâm đường tròn đi qua ba điểm $A,{{T}_{1}},{{T}_{2}}$

Vậy đường tròn qua ba điểm $A,{{T}_{1}},{{T}_{2}}$ có tâm $H\left( 2;0 \right)$, bán kính $R=\dfrac{1}{2}AI=\sqrt{5}$ là:

$\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=5$

Đường thẳng ${{T}_{1}}{{T}_{2}}$ đi qua $H\left( 2;0 \right)$ và nhận $\overrightarrow{IA}=\left( 2;-4 \right)$ làm VTPT

$\Rightarrow {{T}_{1}}{{T}_{2}}:2\left( x-2 \right)-4\left( y-0 \right)=0$

$\Rightarrow {{T}_{1}}{{T}_{2}}:x-2y-2=0$