cho tam giác ABC có AB=21cm, AC=28cm, BC=35cm. Kẻ đường cao AH a) Chứng minh: tam giác ABC vuông b) CM: tam giác ABH và tam giác CBA đồng dạng c) Tính AH,BH d) CM: AH^2=HB.HC e) Gọi AD là phân giác của góc BAC. Tính BD,DC,và SΔAHD f) Đường thẳng qua B vuông góc với AD cắt AH, AC lần lượt tại I và K. Tính tỉ số $\frac{IB}{IK}$

Đáp án:

a) $\triangle ABC$ vuông tại A

b) $\triangle ABH\backsim\triangle CBA$

c) $AH=16,8cm; BH=12,6cm$

d) $AH^2=HB.HC$

e) $BD=15cm, DC=20cm, S_{\triangle AHD}=146,16cm^2$

f) $\dfrac{IB}{IK}=\dfrac{3}{4}$

Giải thích các bước giải:

a)

Ta có:

$AB^2+AC^2=21^2+28^2=1225\\BC^2=35^2=1225$

$\to AB^2+AC^2=BC^2=1225$

$\to\triangle ABC$ vuông tại A

b)

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CBA$:

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{B}$: chung

$\to\triangle ABH\backsim\triangle CBA$ (g.g)

c)

$\triangle ABH\backsim\triangle CBA$ (cmt)

$\to\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{CB}{CA}\\\to AH=\dfrac{AB.CA}{CB}=\dfrac{21.28}{35}=16,8(cm)\\\to\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{CB}{BA}\\\to BH=\dfrac{AB^2}{CB}=\dfrac{21^2}{35}=12,6(cm)$

d)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$\widehat{B}+\widehat{C}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$\widehat{BAH}+\widehat{B}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{BAH}=\widehat{C}$

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle CHA$:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (cmt)

$\to\triangle AHB\backsim\triangle CHA$ (g.g)

$\to\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{CH}{HA}\\\to AH^2=HB.HC$

e)

$\triangle ABC$ có đường phân giác AD (gt)

$\to\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AB}=\dfrac{21}{28}=\dfrac{3}{4}\\\to DB=\dfrac{3}{4}DC$

Ta có:

$DB+DC=BC=35(cm)\\\to\dfrac{3}{4}DC+DC=35\\\to7DC=140\\\to DC=20(cm)\to DB=\dfrac{3}{4}.20=15(cm)$

Lại có:

$BH+HD=BD=30(cm)\\\to HD=30-BH=30-12,6=17,4(cm)$

$\to S_{\triangle AHD}=\dfrac{1}{2}.AH.HD=\dfrac{1}{2}.16,8.17,4=146,16(cm^2)$

f)

Gọi giao điểm của BK và AD là E

$\to BE\bot AD$

Xét $\triangle ABD$:

$AH\bot BD\,\,\,(AH\bot BC)$

$BE\bot AD$ (cmt)

I là giao điểm của BE và AH (gt)

$\to$ I là trực tâm của $\triangle ABD$

$\to DI\bot AB$

Mà $AC\bot AB$ (gt)

$\to DI//AC$

Xét $\triangle BKC$:

$ID//AC$ (cmt)

$\to\dfrac{IB}{IK}=\dfrac{DB}{DC}$ (định lý Talet)

$\to\dfrac{IB}{IK}=\dfrac{3}{4}$