Cho $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ có : $AM $\bot$ $BC$ , $BC = 6cm$ , $AB = 5cm$ $a)$ Tính $AM$ $b)$ Từ $M$ kẻ $MH $\bot$ $AB $MK$ $\bot$ $AC$ Chứng minh : $\triangle$ $BMH$ =$ $\triangle$ $CMK$ $c)$ Chứng minh $HK // BC$ $d)$ Trên tia đối của tia $MA$ lấy $N$ sao cho $MN = MA$ Chứng minh : $BN = CN$ * Quỳ xuồng lậy các a chị giúp em

$#ProTopTop$

Đáp án $+$ Giải thik các bước giải 

$a,$ Xét $\triangle$ $AMB$ và $\triangle$ $AMC$ ta có : 

$\widehat{AMB}$ $=$ $\widehat{AMC}$ $= 90^o$ ( vì $AM$ $\bot$ $BC$ )

$AB = AC$ ( gt ) ( Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ ) 

$\widehat{ABC}$ $=$ $\widehat{ACB}$ ( Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ ) 

$\longrightarrow$ $\triangle$ $AMB$ $=$ $\triangle$ $AMC$ ( cạnh huyền - góc nhọn ) 

$\longrightarrow$ $MB = MC$ ( $2$ cạnh tương ứng )

Mà $BC = 6cm$

$\longrightarrow$ $MB = MC = 3cm$

Xét $\triangle$ $AMB$ vuông tại $M$ ta có : 

$AB^2 = AM^2 + MB^2$ ( định lý Pitago )

hay $5^2 = AM^2 + 3^2$

$\longrightarrow$ $AM^2 = 25 - 9$

$\longrightarrow$ $AM^2 = 16$

$\longrightarrow$ $AM = 4$

Vậy $AM = 4cm$

$------------------------$

$b,$ Xét $\triangle$ BMH và $\triangle$ CMK ta có : 

$\widehat{BHM}$ $=$ $\widehat{CKM}$ $= 90^o$ ( vì $MH$ $\bot$ $AB$ ; $MK$ $\bot$ $AC$ )

$BM = MC$ ( cmt ) 

$\widehat{ABC}$ $=$ $\widehat{ACB}$ ( cmt )

$\longrightarrow$ $\triangle$ $BMH$ $=$ $\triangle$ $CMK$ ( cạnh huyền - góc nhọn ) 

$--------------------------$

$c,$ Gọi giao điểm của $Hk$ và $AM$ là $I$ 

Ta có : $AK + KC = AC$ ( tính chất $\pm$ cạnh ) 

$AH + HB = AB$ ( tính chất $\pm$ cạnh ) 

Mà $KC = HB$ ( vì $\triangle$ $BMH$ $=$ $\triangle$ $CMK$ )

$AB = AC$ ( cmt )

$\longrightarrow$ $AK = AH$

$\longrightarrow$ $\triangle$ $AHK$ cân tại $A$ ( dhnb $\triangle$ cân ) 

$\longrightarrow$ $\widehat{IKA}$ $= ( 180^o -$ $\widehat{BAC}$ ) $:2$  (1)

Ta lại có : $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ ( gt )

$\longrightarrow$ $\widehat{ACB}$ $= ( 180^o -$ $\widehat{BAC}$ ) $:2$  (2)

Từ (1) và (2)

$\longrightarrow$ $\widehat{ACB}$ $=$ $\widehat{IKA} ( $=$ ( 180^o -$ $\widehat{BAC}$ ) $:2$ )

Mà $2$ góc này ở vị trí đồng vị

$\longrightarrow$ $HK // BC$ ( dhnb )

$----------------------------------$

$d,$ Ta có : $AM$ $\bot$ $BC$ ( gt )

$\longrightarrow$ $\widehat{BMA}$ $=$ $\widehat{CMA}$ $=$ $\widehat{CMN}$ $=$ $\widehat{BMN}$ $= 90^o$ 

Xét $\triangle$ $BMN$ và $\triangle$ $CMN$ ta có :

$\widehat{CMN}$ $=$ $\widehat{BMN}$ $= 90^o$ ( cmt )

$MB = MC$ ( cmt )

$MA = MN$ ( cmt )

$\longrightarrow$ $\triangle$ $BMN$ $=$ $\triangle$ $CMN$ ( cạnh góc vuông - cạnh góc vuông )

$\longrightarrow$ $BN = CN$ ( $2$ cạnh tương ứng )