Chứng minh rằng: `S = 3/4 + 8/9 + 15/16 + ... + {n^2 - 1}/n^2` không là số tự nhiên `AA` `n \in NN , n > 2`

Đáp án:

 `S` không phải là số tự nhiên

Giải thích các bước giải:

 `S = 3/4 + 8/9 + 15/16 + (n^2 - 1)/(n^2)`

   ` = 1 - 1/4 + 1 - 1/9 + 1 - 1/16 + ..... + 1 - 1/(n^2)`

   ` = (1 + 1 + .... + 1) - (1/4 + 1/9 + 1/16 + .... + 1/(n^2) )`

   ` = n - 1 - (1/4 + 1/9 + 1/16 + .... + 1/(n^2) )`

`=> S < n - 1`

* Vì `1/4 = 1/(2 . 2) < 1/(1 . 2) `

      `1/9 = 1/(3 . 3) < 1/(2 . 3)`

.........................................................................

      `1/(n^2) < 1/( (n - 1) . n)`

`=>S =  (n - 1) - (1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/(n^2) ) > (n - 1) - (1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/((n-1) . n) )`

                                                                                ` > (n - 1) - ( 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + .... + 1/(n - 1) - 1/n)`

                                                                                `> (n - 1) - 1 + 1/n > n - 1 - 1 = n - 2`

`=> n- 1 > S > n - 2`

Vì `n > 2` và `n \in  NN` nên `n - 1` và `n - 2` là 2 số tự nhiên

`=> S` không phải là số tự nhiên